Beweis gesucht < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:35 So 31.10.2010 | | Autor: | Nerix |
| Aufgabe | 1) Beweisen sie:
[mm] \summe_{i=1}^{n} k^3 [/mm] = [mm] \bruch{n^2 (n+1)^2}{4} [/mm] für alle n [mm] \in [/mm] N \ {0}
2) Berechnen sie (aufbauend):
[mm] \summe_{i=5}^{300} (k-1)^3 [/mm] |
Hallo,
sitze grad schon Ewigkeiten an der Aufgabe und weiß nicht wie ich hier anfangen soll??? kann wer helfen? Wär dringend,danke!!
Grüße
Nerix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 So 31.10.2010 | | Autor: | Nerix |
Wasich noch vergessen habe:
Für 2) hab ich mir überlegt kann ich [mm] \summe_{i=4}^{300} k^3 [/mm] schreiben??oder??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 So 31.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nerix!
> Für 2) hab ich mir überlegt kann ich [mm]\summe_{i=4}^{300} k^3[/mm] schreiben??oder??
Nicht ganz. Es gilt:
[mm]\summe_{\red{k}=5}^{300} (k-1)^3 \ = \ \summe_{\red{k}=4}^{\red{299}}k^3[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 So 31.10.2010 | | Autor: | Nerix |
Ah, mal wieder richtig gedacht,aber nicht bis zum Ende!!^^ Natürlich muss es 2999 heißen.DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 So 31.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nerix!
Ist Dir die vollständige Induktion ein Begriff? Denn diese Aufgabe schreit förmlich nach dieser Beweismethode.
Wo hakt es denn? Wo genau liegen Deine Probleme?
Im Induuktionsschritt musst Du unter Anwendung der Induktionsvoraussetzung zeigen, dass gilt:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1} k^3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+1)^2* (n+2)^2}{4}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 So 31.10.2010 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
ok,vollständige Induktion....wollte auf Biegen und Brechen (in)direkt beweisen...
Werd es jetzt mal probieren,melde mich nochmal wenns probleme gibt,bis dahin: Danke
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 So 31.10.2010 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
ok, bin jetzt beim Induktionsschritt,genau so wie du ihn gepostet hast. Soweit versteh ichs jetzt auch. nun muss ich ja anscheinend [mm] \bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4} [/mm] weiter umwandeln...aber in was?? ich könnte natürlich den Zähler zusammenfassen,aber bringt mir des was??Denke eher nicht.
Meine Frage: was muss hier am ende überhaupt [mm] stehn?\bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4} [/mm] =......= x [mm] \bruch{n^2(n+1)^2}{4} [/mm] ???
Danke
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> Hallo,
> ok, bin jetzt beim Induktionsschritt,genau so wie du ihn
> gepostet hast. Soweit versteh ichs jetzt auch. nun muss ich
> ja anscheinend [mm]\bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4}[/mm] weiter
> umwandeln...aber in was?? ich könnte natürlich den
> Zähler zusammenfassen,aber bringt mir des was??Denke eher
> nicht.
> Meine Frage: was muss hier am ende überhaupt
> [mm]stehn?\bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4}[/mm] =......= x
> [mm]\bruch{n^2(n+1)^2}{4}[/mm] ???
>
Hallo,
schade, daß wir nicht sehen, was Du in Sachen Induktion bisher getan hast.
Ich gehe davon aus, daß der Induktionsanfang dasteht und die Induktionsvoraussetzung manierlich formuliert wurde.
Im Induktionsschluß ist nun zu zeigen, daß die Aussage dann auch für n+1 gilt, daß also
$ [mm] \summe_{i=1}^{n+1} k^3 [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(n+1)^2 (n+2)^2}{4} [/mm] $ richtig ist.
Beweis:$ [mm] \summe_{i=1}^{n+1} k^3 [/mm] $= $ [mm] \summe_{i=1}^{n} k^3 [/mm] $+... [mm] =...=...=\bruch{(n+1)^2 (n+2)^2}{4}.
[/mm]
An geeigneter Stelle ist die Induktionsvoraussetzung zu verwenden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:37 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
ja,sorry habe den Induktionsanfang bzw die Anahme richtig formuliert vorher.(in Zukunft poste ich diese wieder) Danke an deinen Tip Angela! Konnte dann zu Ende beweisen, indem ich für >
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} k^3 [/mm]= [red][mm]\summe_{i=1}^{n} k^3 [/mm][red]+ [blue]... [blue]
[mm]=...=...=\bruch{(n+1)^2 (n+2)^2}{4}.[/mm]
[red]Induktionsvorraussetzung[red] eingesetz habe und für [blue]....blue] [mm] (n+1)^3 [/mm] eingestzt habe und dann einfach ausgerechnet habe-->siehe da es stimmt!!
Danke
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