Beweis für Formel mit e^x < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Di 09.05.2006 | | Autor: | Bovarian |
| Aufgabe | Sei a>0 gegeben. Bestimmen Sie alle x [mm] \in \IR [/mm] , sodass
[mm] e^x [/mm] - [mm] e^{-x} [/mm] = 2a gilt. |
Hallo zusammen, ich Suche einen Ansatz zur Lösung.
Ich habe schon mal [mm] e^x [/mm] mit z substituiert, komme dann aber nicht weiter.
Vielen Dank für die Mühe im Vorraus.
Gruß
Alex
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Hallo Alex!
Dein Ansatz mit der Substitution $z \ := \ [mm] e^x$ [/mm] ist völlig richtig.
Da ja gilt: [mm] $e^{-x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e^x}$ [/mm] , wird dann aus Deiner Gleichung:
[mm] $z-\bruch{1}{z} [/mm] \ = \ 2a$
Nun mit $z_$ multiplizieren und Du erhältst eine quadratische Gleichung, die Du z.B. mit der  p/q-Formel lösen kannst.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Di 09.05.2006 | | Autor: | Bovarian |
Hallo Roadrunner,
erstmal vielen Dank.
Eine kleine Rückfrage hätte ich allerdings noch:
Ich habe jetzt:
[mm] z_{1/2} [/mm] = [mm] a^2 \pm \wurzel{a^2 + 1}
[/mm]
Da ja [mm] e^x [/mm] nur für positive Zahlen definiert ist interisiert mich der zweite Fall ja nicht.
Aber wirklich weiter vereinfachen kann ich das ja auch nicht, oder?
Danke
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Di 09.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Alex!
> erstmal vielen Dank.
> Eine kleine Rückfrage hätte ich allerdings noch:
> Ich habe jetzt:
>
> [mm]z_{1/2}[/mm] = [mm]a^2 \pm \wurzel{a^2 + 1}[/mm]
>
> Da ja [mm]e^x[/mm] nur für positive Zahlen definiert ist interisiert
> mich der zweite Fall ja nicht.
Wieso? Wenn etwa $a = 2$ ist, so ist [mm] $z_1 [/mm] > 0$ und [mm] $z_2 [/mm] > 0$!
> Aber wirklich weiter vereinfachen kann ich das ja auch
> nicht, oder?
Nein. Aber das ist doch auch schon sehr einfach  (oder anders ausgedrueckt: `einfach' ist relativ!)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Di 09.05.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Felix!
Hier bist Du aber leider auf das falsche Ergebnis "reingefallen"  ... Denn beim richtigen Ergebnis sind tatsächlich nur die Lösungen mit dem Pluszeichen positiv.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Di 09.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Roadrunner!
> Hier bist Du aber leider auf das falsche Ergebnis
> "reingefallen" ... Denn beim richtigen Ergebnis sind
> tatsächlich nur die Lösungen mit dem Pluszeichen positiv.
Mmh da haett ich mir das vielleicht dochmal anschauen sollen woher die Gleichung stammte :)
LG Felix
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Hallo Alex!
> [mm]z_{1/2}[/mm] = [mm]a^2 \pm \wurzel{a^2 + 1}[/mm]
Da hat sich ein Quadrat zuviel eingeschlichen. Es muss heißen:
[mm] $z_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] a\pm\wurzel{a^2+1}$
[/mm]
> Da ja [mm]e^x[/mm] nur für positive Zahlen definiert ist interisiert
> mich der zweite Fall ja nicht.
Völlig richtig! Aber Du musst ja noch resubstituieren:
$z \ = \ [mm] e^x$ $\gdw$ [/mm] $x \ = \ [mm] \ln(z) [/mm] \ = \ [mm] \ln\left[a+\wurzel{a^2+1} \ \right]$
[/mm]
> Aber wirklich weiter vereinfachen kann ich das ja auch
> nicht, oder?
Nein, der o.g. Term ist das Ende ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Di 09.05.2006 | | Autor: | Bovarian |
Vielen Dank für die Mühe,
das Quadrat hatte sich tatsächlich nur eingeschlichen.
Handschriftlich hatte ich es richtig.
Ich dachte es müsste ein einfacherer Wert rauskommen.
Gruß
Alex
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