Beweis für Einheit < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Mo 10.05.2010 | | Autor: | julsch |
| Aufgabe | Ein Element a eines Rings R
heißt nilpotent, falls eine natüurliche Zahl n [mm] \in [/mm] N existiert, so daß [mm] a^{n} [/mm] = 0.
a) Bestimmen sie mit der Multiplikationstafel die nilpotenten
Elemente von [mm] \IZ_{8}. [/mm] (1 Punkt)
b) Zeigen Sie: Die Menge Nil(R) der nilpotenten Elemente von R ist ein Ideal.
(2 Punkte)
c) Zeigen Sie: Ist u [mm] \in [/mm] R eine Einheit und a [mm] \in [/mm] R nilpotent, dann ist u + a
wieder eine Einheit. (2 Punkte) |
Hallo zusammen!
Aufgabe a) und b) hab ich schon gelöst, jedoch weiß ich nicht, ob ich c) so sagen darf, wie ich es mir gedacht habe. Wäre froh, wenn es einer korrigieren würde.
Also, ich hab mir überlegt:
u Einheit heißt, dass ein v [mm] \in [/mm] R existiert, sodass uv=1=vu
a nilpotent heißt, dass ein n [mm] \in \IN [/mm] existiert, sodass [mm] a^{n}=0
[/mm]
Wir müssen nur zeigen, dass ein x [mm] \in [/mm] R existiert, sodass (u+a)*x =1
ux + ax =1
wenn wir [mm] x=a^{n-1} [/mm] wählen, folgt
[mm] u*a^{n-1} [/mm] + [mm] a^{n}=1
[/mm]
[mm] u*a^{n-1} [/mm] =1 , da [mm] a^{n} [/mm] =0
daraus würde folgen, dass [mm] a^{n-1}=v.
[/mm]
Reicht das als Beweis und kann ich x einfach [mm] a^{n-1} [/mm] setzen?
Liebe Grüße
Julsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Mo 10.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ein Element a eines Rings R
> heißt nilpotent, falls eine natüurliche Zahl n [mm]\in[/mm] N
> existiert, so daß [mm]a^{n}[/mm] = 0.
> a) Bestimmen sie mit der Multiplikationstafel die
> nilpotenten
> Elemente von [mm]\IZ_{8}.[/mm] (1 Punkt)
> b) Zeigen Sie: Die Menge Nil(R) der nilpotenten Elemente
> von R ist ein Ideal.
> (2 Punkte)
> c) Zeigen Sie: Ist u [mm]\in[/mm] R eine Einheit und a [mm]\in[/mm] R
> nilpotent, dann ist u + a
> wieder eine Einheit. (2 Punkte)
> Hallo zusammen!
> Aufgabe a) und b) hab ich schon gelöst, jedoch weiß ich
> nicht, ob ich c) so sagen darf, wie ich es mir gedacht
> habe. Wäre froh, wenn es einer korrigieren würde.
> Also, ich hab mir überlegt:
> u Einheit heißt, dass ein v [mm]\in[/mm] R existiert, sodass
> uv=1=vu
> a nilpotent heißt, dass ein n [mm]\in \IN[/mm] existiert, sodass
> [mm]a^{n}=0[/mm]
> Wir müssen nur zeigen, dass ein x [mm]\in[/mm] R existiert, sodass
> (u+a)*x =1
> ux + ax =1
> wenn wir [mm]x=a^{n-1}[/mm] wählen, folgt
> [mm]u*a^{n-1}[/mm] + [mm]a^{n}=1[/mm]
Wieso folgt denn das ?? Wo hast Du ausgenutzt, dass u eine Einheit ist ?
> [mm]u*a^{n-1}[/mm] =1 ,
daraus würde folgen: a= 0 !!! Deine Wahl von x war also nicht gut !!
FRED
> da [mm]a^{n}[/mm] =0
> daraus würde folgen, dass [mm]a^{n-1}=v.[/mm]
>
> Reicht das als Beweis und kann ich x einfach [mm]a^{n-1}[/mm]
> setzen?
>
> Liebe Grüße
> Julsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Mo 10.05.2010 | | Autor: | julsch |
Wenn ich ausnutze, dass u eine Einheit ist, könnte ich u auch schreiben als [mm] \bruch{1}{v}. [/mm] Hilft mir das denn weiter?
Wieso folgt aus [mm] u*a^{n-1}=1, [/mm] dass a=0 ist? Für mich wäre [mm] a=\wurzel[n-1]{\bruch{1}{u}}.
[/mm]
Julsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Mo 10.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich ausnutze, dass u eine Einheit ist, könnte ich u
> auch schreiben als [mm]\bruch{1}{v}.[/mm] Hilft mir das denn weiter?
Du mußt ausnutzen, dass es ein v gibt mit uv=1=vu
> Wieso folgt aus [mm]u*a^{n-1}=1,[/mm] dass a=0 ist?
Multipliziere die letzte Gleichung von rechts mit a
FRED
Für mich wäre
> [mm]a=\wurzel[n-1]{\bruch{1}{u}}.[/mm]
>
> Julsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mo 10.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ein Element a eines Rings R
Der Ring ist kommutativ, oder?
> c) Zeigen Sie: Ist u [mm]\in[/mm] R eine Einheit und a [mm]\in[/mm] R
> nilpotent, dann ist u + a
> wieder eine Einheit. (2 Punkte)
Mal als Schub in die richtige Richtung: sei a nilpotent, schau dir mal [m]\sum_n a^n*(1-a)[/m] an ... quasi typisch die geometrische Summe!
SEcki
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