Beweis f-invariant < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Do 26.12.2013 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | $ [mm] (f-\lambda Id_v)^m [/mm] (f(v))=((f- [mm] \lambda [/mm] * [mm] Id_v)^m \circ [/mm] f)(v)$
$=(f [mm] \circ(f-\lambda [/mm] * [mm] Id_v)^m)(v)$
[/mm]
$=f(0)$
$=0$ |
Hallo Forum,
ich habe hier gerade einen Beweis, dessen Umformung ich nicht verstehe. Es handelt sich um den Beweis, daß Verallgemeinerte Eigenräume f-invariant sind.
v ist ein element des Verallgemeinerten Eigenraumes und f ist ein Endomorphismus und sei m die Multiplikation von [mm] \lambda [/mm] im Minimalpolynom von f.
Mir ist schon klar, dass ich zeigen muß, dass f(v) Element des erweiterten Eigenraumes ist. Also dass gelten muß:
$ [mm] (f-\lambda Id_v)^m [/mm] (f(v))=0$
Leider verstehe ich die Umformung von der zweiten in die dritte Zeile nicht.
Grüße,
Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Fr 27.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm](f-\lambda Id_v)^m (f(v))=((f- \lambda * Id_v)^m \circ f)(v)[/mm]
>
> [mm]=(f \circ(f-\lambda * Id_v)^m)(v)[/mm]
>
> [mm]=f(0)[/mm]
> [mm]=0[/mm]
> Hallo Forum,
> ich habe hier gerade einen Beweis, dessen Umformung ich
> nicht verstehe. Es handelt sich um den Beweis, daß
> Verallgemeinerte Eigenräume f-invariant sind.
>
> v ist ein element des Verallgemeinerten Eigenraumes und f
> ist ein Endomorphismus und sei m die Multiplikation von
> [mm]\lambda[/mm] im Minimalpolynom von f.
>
> Mir ist schon klar, dass ich zeigen muß, dass f(v) Element
> des erweiterten Eigenraumes ist. Also dass gelten muß:
> [mm](f-\lambda Id_v)^m (f(v))=0[/mm]
> Leider verstehe ich die
> Umformung von der zweiten in die dritte Zeile nicht.
Wir setzen (wegen der Übersicht)
[mm] g:=(f-\lambda Id_v)^m.
[/mm]
Dann ist $g [mm] \circ [/mm] f =f [mm] \circ [/mm] g$ (warum ?), g(v)=0 und damit
$ [mm] (f-\lambda Id_v)^m [/mm] (f(v)) =(g [mm] \circ [/mm] f)(v)= (f [mm] \circ [/mm] g)(v)=f(g(v))=f(0)=0$
FRED
> Grüße,
> Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Fr 27.12.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Fred,
vielen Dank! Jetzt habe ich das auch kappiert! Danke
Zu:
$f [mm] \circ [/mm] g = g [mm] \circ [/mm] f$
Ich denke es ist so:
Ich muß ja nun zeigen, daß $(f- [mm] \lambda Id_v)^m [/mm] * f(v)=0$ gilt.
Das läßt sich auch in $ [mm] \IK [/mm] [T]$ ausdrücken und dort gilt:
$(T [mm] -\lambda Id_v)^m [/mm] * T = T * (T- [mm] \lambda Id_v)^m$
[/mm]
(Wenn ich jetzt länger darüber nachdenke, dann bin ich mir jetzt aber nicht mehr so 100% sicher, warum ich das darf!?)
Grüße,
Micha
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> Hallo Fred,
> vielen Dank! Jetzt habe ich das auch kappiert! Danke
>
> Zu:
>
> [mm]f \circ g = g \circ f[/mm]
>
> Ich denke es ist so:
> Ich muß ja nun zeigen, daß [mm](f- \lambda Id_v)^m * f(v)=0[/mm]
> gilt.
Hallo,
ich dachte, Du grübelst darüber, warum
(f- [mm] \lambda Id_V)^m \circ f=f\circ [/mm] (f- [mm] \lambda Id_V)^m
[/mm]
richtig ist.
Das kannst Du mit vollständiger Induktion zeigen.
Es ist doch (f- [mm] \lambda Id_V)\circ f=f\circ [/mm] f - [mm] \lambda f=f\circ [/mm] (f- [mm] \lambda Id_V).
[/mm]
LG Angela
> Das läßt sich auch in [mm]\IK [T][/mm] ausdrücken und dort
> gilt:
>
> [mm](T -\lambda Id_v)^m * T = T * (T- \lambda Id_v)^m[/mm]
>
> (Wenn ich jetzt länger darüber nachdenke, dann bin ich
> mir jetzt aber nicht mehr so 100% sicher, warum ich das
> darf!?)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Sa 28.12.2013 | | Autor: | mbra771 |
> Hallo,
>
> ich dachte, Du grübelst darüber, warum
> (f- [mm]\lambda Id_V)^m \circ f=f\circ[/mm] (f- [mm]\lambda Id_V)^m[/mm]
>
> richtig ist.
Ja, das stimmt. Normalerweise ist ja eine Komposition von Abbildungen nicht kommutativ und in meinem Script wird dieser Punkt des Beweises leider nur mit dem folgenden Satz behandelt.
In [mm] $\IK[T]$ [/mm] gilt [mm] $(T-\lambda)^m [/mm] * [mm] T=T(T-\lambda)^m$ [/mm] und durch Einsetzen von $f$
folgt $(f- [mm] \lambda Id_v)^m \circ [/mm] f=f [mm] \circ [/mm] (f- [mm] \lambda Id_v)^m$
[/mm]
Das konnte ich nicht nachvollziehen. Dein Ansatz mit der Vollständigen Induktion erscheint mir viel einleuchtender. Vielen Dank dafür.
> Es ist doch [mm] (f-\lambda Id_V)\circ f=f\circ[/mm] [/mm] f - [mm]\lambda f=f\circ[/mm]
> (f- [mm]\lambda Id_V).[/mm]
>
Damit ich nichts falsch verstehe:
[mm] $(f-\lambda Id_V)\circ f=f\circ [/mm] f [mm] -\lambda f=f\circ (f-\lambda Id_V)$
[/mm]
Im ersten Schritt wendest du die Komposition von rechts auf die Klammer an, wie aus multiplizieren von rechts. (hoffe das habe ich richtig ausgedrückt) So erhalten wir:
[mm] $f\circ [/mm] f [mm] -\lambda [/mm] f$
... was das gleiche ist wie:
[mm] $f\circ [/mm] f - f [mm] \lambda [/mm] $
Dann fast du f nach links zusammen (wie ausklammern):
[mm] $f\circ (f-\lambda Id_V)$
[/mm]
Habe ich das richtig verstanden?
Ich glaube da muss ich noch etwas üben!
Grüße,
Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Sa 28.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > ich dachte, Du grübelst darüber, warum
> > (f- [mm]\lambda Id_V)^m \circ f=f\circ[/mm] (f- [mm]\lambda Id_V)^m[/mm]
> >
>
> > richtig ist.
>
> Ja, das stimmt. Normalerweise ist ja eine Komposition von
> Abbildungen nicht kommutativ und in meinem Script wird
> dieser Punkt des Beweises leider nur mit dem folgenden Satz
> behandelt.
>
> In [mm]\IK[T][/mm] gilt [mm](T-\lambda)^m * T=T(T-\lambda)^m[/mm] und durch
> Einsetzen von [mm]f[/mm]
> folgt [mm](f- \lambda Id_v)^m \circ f=f \circ (f- \lambda Id_v)^m[/mm]
>
> Das konnte ich nicht nachvollziehen. Dein Ansatz mit der
> Vollständigen Induktion erscheint mir viel einleuchtender.
> Vielen Dank dafür.
>
> > Es ist doch [mm](f-\lambda Id_V)\circ f=f\circ[/mm][/mm] f - [mm]\lambda f=f\circ[/mm]
> > (f- [mm]\lambda Id_V).[/mm]
> >
>
> Damit ich nichts falsch verstehe:
> [mm](f-\lambda Id_V)\circ f=f\circ f -\lambda f=f\circ (f-\lambda Id_V)[/mm]
>
> Im ersten Schritt wendest du die Komposition von rechts auf
> die Klammer an, wie aus multiplizieren von rechts. (hoffe
> das habe ich richtig ausgedrückt) So erhalten wir:
>
> [mm]f\circ f -\lambda f[/mm]
>
> ... was das gleiche ist wie:
>
> [mm]f\circ f - f \lambda[/mm]
>
> Dann fast du f nach links zusammen (wie ausklammern):
>
> [mm]f\circ (f-\lambda Id_V)[/mm]
>
> Habe ich das richtig verstanden?
Ja
FRED
>
> Ich glaube da muss ich noch etwas üben!
> Grüße,
> Micha
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Sa 28.12.2013 | | Autor: | mbra771 |
Super, vielen Dank für die Hilfe.
Dann versuche ich jetzt mal die VI.
Freue mich,
Mich
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