Beweis eines satzes für LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | beweisen sie folgenden satz
a)satz: für alle inhomogenen LGS G gilt:
wenn G eine eindeutig bestimmte lösung hat, so hat auch das zu G gehörige homogene gleichungssystem eine eindeutige lösung.
b) zeigen sie, dass die umkehrung des satzes nicht gilt. zeigen sie also, dass die folgende behauptung falsch ist:
behauptung: für alle inhomogenen LGS G gilt:
wenn das zu G gehörige homogene gleichungssystem eine eindeutig bestimmte lösung hat, so hat auch G eine eindeutig bestimmte lösung. |
seit auf ein neues gegrüßt...
ja, ich würde gerne einen ansatz verfassen aber diesmal habe ich quälenderweise überhaupt keine ahnung, wie ich an diese beweise rangehen soll??? könnte mir jemand einen anstoß geben, damit der stein ins rollen kommt ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
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> beweisen sie folgenden satz
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> a)satz: für alle inhomogenen LGS G gilt:
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> wenn G eine eindeutig bestimmte lösung hat, so hat auch das
> zu G gehörige homogene gleichungssystem eine eindeutige
> lösung.
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> b) zeigen sie, dass die umkehrung des satzes nicht gilt.
> zeigen sie also, dass die folgende behauptung falsch ist:
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> behauptung: für alle inhomogenen LGS G gilt:
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> wenn das zu G gehörige homogene gleichungssystem eine
> eindeutig bestimmte lösung hat, so hat auch G eine
> eindeutig bestimmte lösung.
> seit auf ein neues gegrüßt...
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> ja, ich würde gerne einen ansatz verfassen aber diesmal
> habe ich quälenderweise überhaupt keine ahnung, wie ich an
> diese beweise rangehen soll??? könnte mir jemand einen
> anstoß geben, damit der stein ins rollen kommt
Zu a) Ein homogen-lineares Gleichungssystem hat immer die triviale Lösung (alle Variablen =0). Die Differenz zweier Lösungen eines inhomogen-linearen Gleichungssystems ist notwendigerweise auch eine Lösung des zugehörigen homogen-linearen Gleichungssystems (Beweis: bilde die Differenzen der entsprechenden Gleichungen des linearen Gleichungssystems). Daraus folgt: Falls es zwei verschiedene Lösungen eines inhomogen-linearen Gleichungssystems gibt, dann gibt es mehr als eine Lösung des zugehörigen homogen-linearen Gleichungssystems (nämlich die erwähnte triviale Lösung, die es immer gibt, und diejenige, die aus der Differenz zweier verschiedener Lösungen des inhomogen-linearen Gleichungssystems gebildet werden kann).
Zu b) Es kann sein, dass das inhomogen-lineare Gleichungssystem keine Lösung hat, obwohl das homogen-lineare Gleichungssystem nur genau eine Lösung hat (in diesem Falle muss aber das inhomogen-lineare Gleichungssystem überbestimmt sein).
Beispiel:
[mm]\begin{array}{rcrcl|}
x_1 &+& x_2 &=& 3\\
x_1 &-& x_2 &=& 1\\
2x_1 &+&3x_2 &=& 5\\\hline
\end{array}[/mm]
Dieses inhomogen-lineare System hat keine Lösung, aber das zugehörige homogen-lineare System
[mm]\begin{array}{rcrcl|}
x_1 &+& x_2 &=& 0\\
x_1 &-& x_2 &=& 0\\
2x_1 &+&3x_2 &=& 0\\\hline
\end{array}[/mm]
hat natürlich nur gerade die triviale Lösung [mm] $x_1=x_2=0$.
[/mm]
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