Beweis einer Äquivalenzaussage < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein Polynom y(x) = [mm] d*x^3 [/mm] + [mm] c*x^2 [/mm] + b*x + a mit 3 verschiedenen Nullstellen ist genau dann punktsym. zu P(0/0), wenn gilt c = a = 0. |
Hallo an alle!
Wenn a=0 und c=0 -> y(x) = [mm] d*x^{3} [/mm] + b*x
Jetzt habe ich:
y(x) = x * [mm] (d*x^2 [/mm] + b)
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{-1 +- \wurzel{1-4*d*b}}{2*d}
[/mm]
Also durch x * ... ist x=0 die erste Nullstelle, und wenn 1-4*d*b > 0 dann gibt es zwei Nullstellen, so hat man zwei Nullstellen, also insgesamt drei verschiedene.
Dass y(x) = [mm] d*x^3 [/mm] + b*x punktsym. erkenne ich dadurch: f(x) = -f(-x)
Kann man das nicht "besser" beweisen, also etwas geordneter?
Ich meine, ich erkenne ja schon dadurch, dass alle Exponenten ungerade sind, dass dies punktsym. ist. Reicht das schon als Beweis?
Vielleicht habt ihr ein paar Anregungen?
Gruß -PHANTOMIAS-
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 So 21.10.2007 | | Autor: | Aoy |
Hallo
> Ein Polynom y(x) = [mm]d*x^3[/mm] + [mm]c*x^2[/mm] + b*x + a mit 3
> verschiedenen Nullstellen ist genau dann punktsym. zu
> P(0/0), wenn gilt c = a = 0.
> Hallo an alle!
>
> Wenn a=0 und c=0 -> y(x) = [mm]d*x^{3}[/mm] + b*x
>
> Jetzt habe ich:
> y(x) = x * [mm](d*x^2[/mm] + b)
>
> [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{-1 +- \wurzel{1-4*d*b}}{2*d}[/mm]
das ist falsch, aus [mm] dx^2+b=0 [/mm] folgt doch [mm] x_{1,2}=\pm\wurzel{-b/d} [/mm]
> Also durch x * ... ist x=0 die erste Nullstelle, und wenn
> 1-4*d*b > 0 dann gibt es zwei Nullstellen, so hat man zwei
> Nullstellen, also insgesamt drei verschiedene.
Ein Polynom 3.ten Grades hat immer 1 oder 3 Nullstellen, 2 geht nicht.
> Dass y(x) = [mm]d*x^3[/mm] + b*x punktsym. erkenne ich dadurch: f(x)
> = -f(-x)
>
> Kann man das nicht "besser" beweisen, also etwas
> geordneter?
> Ich meine, ich erkenne ja schon dadurch, dass alle
> Exponenten ungerade sind, dass dies punktsym. ist. Reicht
> das schon als Beweis?
richtig soweit, aber das "weisst" du und musst es mit f(x)=-f(-x) noch zeigen!
Das wichtigste ist aber das GENAU DANN
d.h. ddu musst noch die andere Richtung zeigen: wenn es sym. zu 0 ist und 3 Nst hat dann folgt a=c=0.
MvG Aoy
> Vielleicht habt ihr ein paar Anregungen?
>
> Gruß -PHANTOMIAS-
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Erstmal danke für deine Hilfe.
Stimmt, das ist falsch: [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{-1 +- \wurzel{1-4*d*b}}{2*d}[/mm]
Müsste heißen
[mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{\pm\wurzel{-4*d*b}}{2*d}[/mm]
[mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{\pm\wurzel{-(d*b)}}{d}[/mm]
[mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\pm\wurzel{-\bruch{b}{d}}[/mm]
Okay, dann muss ich das mit f(x) = -f(-x) zeigen, das kriege ich hin.
Aber: d.h. du musst noch die andere Richtung zeigen: wenn es sym. zu 0 ist und 3 Nst hat dann folgt a=c=0.
-> Wie zeige ich das denn? Das ist doch eigentlich die Aussage nur "umgedreht", also ist das auch über f(x) = -f(-x) beweisbar?
Gruß -PHANTOMIAS-
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Mir ist das Ganze noch etwas zu verwurschtelt.
Deshalb möchte ich nochmal ganz an den Anfang gehen, zur Aufgabenstellung, um zu klären, was eigentlcih genau zu zeigen ist.
Die Aufgabe lautete ja:
>>> Ein Polynom y(x) = $ [mm] d\cdot{}x^3 [/mm] $ + $ [mm] c\cdot{}x^2 [/mm] $ + b*x + a mit 3 verschiedenen Nullstellen ist genau dann punktsym. zu >>> P(0/0), wenn gilt c = a = 0.
Vorausgesetzt ist also: wir haben ein Polynom y , y(x) = $ [mm] d\cdot{}x^3 [/mm] $ + $ [mm] c\cdot{}x^2 [/mm] $ + b*x + a, welches drei verschiedene Nullstellen hat.
Unter dieser Voraussetzung ist zu zeigen: y ist punktsymmetrisch zum Ursprung <==> c=a=0.
Also ist zu zeigen
A. y ist punktsymmetrisch zum Ursprung ==> c=a=0
und
B. c=a=0 ==> y ist punktsymmetrisch zum Ursprung
Du beschaftigst Dich bisher mit Aussage B.
Das bedeutet, daß Du zeigen möchtest bzw. zeigen möchten solltest:
Wenn y(x) = $ [mm] d\cdot{}x^3 [/mm] $ + $ [mm] c\cdot{}x^2 [/mm] $ + b*x + a ein Polynom mit drei verschiedenen Nullstellen ist und c=a=0 ist, so ist y punktsymmetrisch zum Ursprung, d.h. es gilt y(x)=-y(-x).
Beweis: Es sei y(x) = $ [mm] d\cdot{}x^3 [/mm] $ + $ [mm] c\cdot{}x^2 [/mm] $ + b*x + a ein Polynom mit drei verschiedenen Nullstellen, und es sei c=a=0.
Dann hat y die Gestalt y(x) = [mm] dx^3+bx= x(dx^2+b) [/mm]
Und nun brauchst Du lediglich zu prüfen, ob y(x)=-y(-x) gilt.
Dann hast Du gezeigt, daß Aussage B gilt.
Die Anzahl der Nullstellen ist für diese Richtung völlig unerheblich, sie gilt, egal wieviel Nullstellen das Polynom hat. Also auch für soilche mit dreien.
Nun die andere Richtung, A:
Nun ist vorausgesetzt, daß y drei verschiedene Nullstellen hat und symmetrisch zum Ursprung ist.
Wir müssen uns nun erstmal überlegen, was dies für unser Polynom bedeutet.
Es muß gelten y(x)=-y(-x).
Daraus erhält man Informationen über a und [mm] cx^2.
[/mm]
Diese kannst Du ausschlachten. Du erhältst daraus, daß a und c beide Null sein müssen.
(Auch wieder unabhängig von der Anzahl der Nullstellen von y, also natürlich auch für solche y mit drei Nullstellen.)
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Du hattest ja irgendwo die Nullstellen von y berechnet, natürlich x=0, aber auch $ [mm] x_{1,2} [/mm] $ = $ [mm] \pm\wurzel{-\bruch{b}{d}} [/mm] $ .
Bei letzterem müßtest Du Dir dann überlegen, unter welchen Bedingungen es diese Nullstellen überhaupt nur gibt, und unter welchen Bedingungen sich mehr als eine Nullstelle dahinter verbirgt. Für die Aufgabe so wie sie hier gestellt ist, brauchst Du diese Überlegungen nicht, es verkompliziert unnötig.
Gruß v. Angela
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Hallo.
Auch dir vielen Dank für deine Antwort und die Aufsplittung beider "Probleme".
Teil B ist mir nun klar.
An Teil A hänge ich immernoch.
"Wir müssen uns nun erstmal überlegen, was dies für unser Polynom bedeutet.
Es muß gelten y(x)=-y(-x)."
-> Dies ist ja die Bedingung für Punktsymmetrie, die muss ja gelten. Und dass dies so ist, muss a = c = 0 sein.
"Daraus erhält man Informationen über a und $ [mm] cx^2. [/mm] $
Diese kannst Du ausschlachten. Du erhältst daraus, daß a und c beide Null sein müssen. "
Ich kann die beiden Fälle nicht klar differenzieren. Mir ist klar, dass ich einmal zeigen muss a=c=0 aus der Punktsym. zum Ursprung und einmal aufrgrund der Punktsym. dass a = c = 0 ist.
Aber bei beiden nehme ich f(x) = -f(-x) um darauf zu kommen, oder?
Ich hoffe ich kann Euch meinen "Hänger" klar machen und mein Problem nochmals verdeutlichen.
Gruß -PHANTOMIAS-
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 So 21.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Für B hast du aus [mm] f(x)=dx^3+bx [/mm] geschlossen, dass gilt f(x)=-f(-x)
für A hast du f(x)=-f(x) und musst daraus folgern, das Pol dritten Grades MUSS die Form [mm] f(x)=dx^3+bx [/mm] haben.
bzw aus f(x)=-f(-x) und [mm] f(x)=dx^3+cx^2+bx+a [/mm] muss a=c=0 sin.
jetzt fang an: Wenn f(x)=-f(x) dann f(0)=-f(0) daraus folgt f(0)=0 und daraus a=0
jetzt mach weiter f(x1)=0 folgt f(-x1)=0 und [mm] x1\ne0 [/mm] dann kriegst du auch c=0 raus.
Gruss leduart
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Hallo.
bzw aus f(x)=-f(-x) und $ [mm] f(x)=dx^3+cx^2+bx+a [/mm] $ muss a=c=0 sein.
jetzt fang an: Wenn f(x)=-f(x) dann f(0)=-f(0) daraus folgt f(0)=0 und daraus a=0
Warum f(x) = -f(x) und nicht f(x) = -f(-x) ?
Das erste ist die Bedingung für Achsensymmetrie.
jetzt mach weiter f(x1)=0 folgt f(-x1)=0 und $ [mm] x1\ne0 [/mm] $ dann kriegst du auch c=0 raus.
-> Wenn ich das weitermache, dann kommt raus
f(x2) = 0 folgt f(-x2) = 0 -> c = 0
f(x3) = 0 folgt f(-x3) = 0 -> $ [mm] x3\ne0 [/mm] $
Stimmt das so? Ich habe das einfach mal weitergeführt, aber ich habe den Kniff noch nicht verstanden.
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> Warum f(x) = -f(x) und nicht f(x) = -f(-x) ?
Hallo,
das ist lediglich ein Tippfehler.
Für Symmetrie zum Ursprung gilt natürlich f(x) = -f(-x),
also [mm] dx^3+cx^2+bx+a=-(d(-x)^3+c(-x)^2 +b*(-x)+a)=dx^3 [/mm] - [mm] cx^2 [/mm] + bx - a
==> [mm] cx^2+a= [/mm] 0.
Das mußt ja für jedes x gelten, z.B. auch für x=0 und x=1.
Was folgt daraus?
Gruß v. Angela
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[mm] cx^2 [/mm] + a = 0
Für x = 0: a = 0
Für x = 1: c + 0 = 0 -> c = 0
Stimmt das so? Falls ja, dann habe ich es verstanden, wenn nicht gebe ich es gleich auf 
Danke + Gruß -PHANTOMIAS-
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Mo 22.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja richtig!
(es ist dir hoffentlich klar, dass du das auch für x=17 oder x=-3 hättest machen können statt für x=1)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Mo 22.10.2007 | | Autor: | PHANTOMIAS |
Vielen Dank für Eure Hilfe, ich habe nun alles verstanden.
Gruß -PHANTOMIAS-
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