Beweis einer Äquivalenz < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Dablack |
| Aufgabe | Zeigen Sie für allgemeinen reelle Zahlen a und b die Gültigkeit der Äquivalenz:
((a <= b) und (-a <= b)) <=> Betrag von a <= b
("<=" steht für "kleiner gleich" und nicht für eine Implikation) |
Ja, komme mir recht blöd vor, dass ich bei der Aufgabe nicht so richtig weiterkomme, da ich glaube das die Lösung nicht allzu schwer ist.
Ich habs mit Aussagenlogik probiert (angefangen auf der rechten Seite):
A := (a <= b)
B := (-a <= b)
C := Betrag von a <= b
A B A und B C
w w w w
w f f f
f w w
f f w
Ist das fertig, unfertig oder einfach nur falsch?
anderer Gedanke war:
Quadrieren von beiden Seiten, aber da weiß ich nicht, ob man das machen darf:
((a² <= b²) und ((-a)² <= b²)) <=> (Betrag von a)² <= b²
<=> ((a² <= b²) und (a² <= b²)) <=> a² <= b²
<=> a² <= b² <=> a² <= b²
Joa, ich glaub das darf man nicht oder?
Bitte nicht schlagen. ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Mi 01.11.2006 | | Autor: | luis52 |
[mm] "$\Rightarrow$": [/mm] Unterscheiden wir zwei Faelle: Ist [mm] $a\ge0$, [/mm] so ist
[mm] $|a|=a\le [/mm] b$.Ist $a<0$, so ist [mm] $|a|=-a\le [/mm] b$.
[mm] "$\Leftarrow$": [/mm] Ist [mm] $a\ge0$, [/mm] so ist [mm] $-a\le a=|a|\le [/mm] b$. Ist $a<0$,
so ist [mm] $a\le -a=|a|\le [/mm] b$.
hth
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