Beweis einer Ungleichung für n < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Do 02.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
| Aufgabe | | Man beweise für beliebige natürliche Zahlen n die Ungleichung ( 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{n} )^{2} [/mm] < 2n |
Hallo zusammen!
Ich habe hier diese Aufgabe vorliegen, und habe leider keine Ahnung wie ich an die Aufgabe rangehen soll, geschweige wie ich sie lösen kann/soll.
Wäre sehr dankbar um Tipps oder Lösungswege!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Do 02.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das schreit geradezu nach einem Induktionsbeweis.
Also:
Ind.Anfang:
n=1
(Teste das dann selber)
Ind-Behauptung:
Für n gilt:
[mm] \left(1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n}\right)^{2}<2n [/mm]
Ind Schritt:
[mm] \left(1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{\red{n+1}}\right)^{2}<2*\red{(n+1)}
[/mm]
Dazu mal folgender Tipp
[mm] \left(1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1}\right)^{2}
[/mm]
[mm] =\left(\green{1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n}}+\bruch{1}{n+1}\right)^{2}
[/mm]
Und jetzt wende mal die binomische Formel (a+b)²=... an. Als a nimmst du den grünen Teil, als b den "Rest", dann kannst du die Induktionsbehauptung anwenden.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Do 02.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
Genau, bis einschließlich zum Ind.Schritt bin ich auch gekommen, aber weiter weiß ich dann eben nicht. Leider ist mir das nicht ganz so klar, was du hier mit der Anwendung der binomischen Formel anstellst.
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Hallo SirSmoke,
bin. Formel angewandt ergibt:
[mm] $...=\red{\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}\right)^2}+2\cdot{}\blue{\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}\right)}\cdot{}\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2} \qquad (\star)$
[/mm]
Nun ist nach IV [mm] $\red{\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}\right)^2 \ < \ 2n}$
[/mm]
Da alles positiv ist, auch [mm] $\blue{\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k} \ < \ \sqrt{2n}}$
[/mm]
Also [mm] $(\star) [/mm] \ < \ [mm] \red{2n}+2\cdot{}\blue{\sqrt{2n}}\cdot{}\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}$
[/mm]
[mm] $=2n+\sqrt{\frac{8n}{(n+1)^2}}+\frac{1}{(n+1)^2}$
[/mm]
Nun schaue dir mal die beiden Brüche an, den unter der Wurzel und den hinteren.
Die kannst du nun locker abschätzen mit Hinblick auf dein Ziel $... \ < \ 2(n+1)=2n+2$
LG
schachuzipus
PS: ich merke gerade erst, dass die Abschätzung für die Wurzel erst ab $n=6$ klappt ...
Aber vllt. hilft dir diese Idee schon mal weiter ...
Zur Not kannst du ja die Gültigkeit für $n=2,3,4,5$ auch per stumpfes Ausrechnen prüfen 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Do 02.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
also ich konnte deinen Schritten folgen, nur allerdings habe ich nun das Problem, dass ich im letzten Schritt nicht das sehe, was du siehst :D
Wenn ich n=6 setze, dann haben wir doch 2n + [mm] \wurzel{\bruch{8*6}{(6+1)^2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(6+1)^2} [/mm] = 2n + [mm] \wurzel{\bruch{48}{49}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{49}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> also ich konnte deinen Schritten folgen, nur allerdings
> habe ich nun das Problem, dass ich im letzten Schritt nicht
> das sehe, was du siehst :D
>
> Wenn ich n=6 setze, dann haben wir doch 2n +
> [mm]\wurzel{\bruch{8*6}{(6+1)^2}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(6+1)^2}[/mm] = 2n + [mm]\wurzel{\bruch{48}{49}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{49}[/mm]
Jo, die beiden hinteren Terme sind somit jeweils <1, also gilt für [mm] n\ge [/mm] 6:
[mm] $2n+\sqrt{\frac{8n}{(n+1)^2}}+\frac{1}{(n+1)^2}<2n+1+1=2n+2=2(n+1)$
[/mm]
Das meinte ich damit
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Do 02.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
und damit ist dann die Behauptung der Aufgabe bewiesen??
Beh: ( 1 + $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ + ... + $ [mm] \bruch{1}{n} )^{2} [/mm] $ < 2n
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Do 02.10.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> und damit ist dann die Behauptung der Aufgabe bewiesen??
>
> Beh: ( 1 + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + ... + [mm]\bruch{1}{n} )^{2}[/mm] < 2n
Ja ist sie. Allerdings solltest du begründen können, warum der hintere Teil für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] kleiner 2 ist, also warum
[mm] $\sqrt{\frac{8n}{(n+1)^2}}+\frac{1}{(n+1)^2}<2\quad\forall\,n\in\IN$
[/mm]
gilt. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Möglichkeit: Du zeigst die Ungleichung, indem Du sie weiter abschätzt, was aufwendig werden könnte. (Ich habs nicht probiert)
2. Möglichkeit: Du betrachtest die linke Seite als Funktion, d.h. du betrachtest die Funktion
[mm] $f:\IR_+\longrightarrow\IR_+$ [/mm] mit [mm] $f(x):=\sqrt{\frac{8x}{(x+1)^2}}+\frac{1}{(x+1)^2}$
[/mm]
und zeichnest eine Skizze, der man entnehmen kann, dass die Funktion immer kleiner 2 ist. Dafür habe ich Dir mal ein Bild in den Anhang gepackt. Dann bist Du fertig.
Gruß
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Do 02.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
Vielen Dank für deine Mühen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Do 02.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich hätte einen Beweis, weiß natürlich nicht ob Dir die Zutaten bekannt sind.
Wir benötigen
(1) Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für nichtnegative Zahlen [mm] a_k, b_k [/mm] (k = 1, ...,n):
[mm] (\summe_{k=1}^{n}a_kb_k)^2 \le \summe_{k=1}^{n}a_k^2\summe_{k=1}^{n}b_k^2
[/mm]
(2) [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2} \le \bruch{\pi^2}{6} [/mm] < 2
Wähle nun [mm] a_k [/mm] = 1/k und [mm] b_k [/mm] = 1. Dann folgt aus (1) und (2):
( 1 + $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ + ... + $ [mm] \bruch{1}{n} )^{2} [/mm] $ [mm] \le (\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2})(\summe_{k=1}^{n}1) [/mm] =
[mm] (\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2})n [/mm] < 2n
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Do 02.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
Die Zutaten sollten mir bekannt sein, aber ich bin ein schlechter Koch :D
Wie kommst du auf deinen Schritt (2) und wie komme ich dann auf meinen Beweis als Lösung?
LG und vielen Dank :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Do 02.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Die Zutaten sollten mir bekannt sein, aber ich bin ein
> schlechter Koch :D
>
> Wie kommst du auf deinen Schritt (2)
Es ist
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2} \le \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2} [/mm] = [mm] \bruch{\pi^2}{6} [/mm] < 2
> und wie komme ich dann
> auf meinen Beweis als Lösung?
Diese Frage verstehe ich nicht !
Die Punkte (1) und (2) sind die Zutaten, das benutzen wir für den Beweis.
FRED
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> LG und vielen Dank :)
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