Beweis einer Ungleichung < Optimierung < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Mi 13.01.2010 | | Autor: | signs |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IR^{n+n} [/mm] symmetrisch positiv definit.
Zeigen Sie, dass für alle x [mm] \in \IR^n [/mm] gilt:
[mm] (x^Tx)^2 \le (x^TAx)(x^TA^{-1}x)
[/mm]
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Mir fehlt hier total der Ansatz.
Ich weiß, dass alle Eigenwerte positiv sind, aber wie bringt mich das weiter?
Wär nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Mi 13.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipps: Spektralsatz für symmetrische Matrizen, Orthonormalbasis aus Eigenvektoren, Cauchy-Schwarzsche - Ungleichung
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:30 Mi 13.01.2010 | | Autor: | signs |
Danke.
Soweit hab ichs jetzt:
Da A reell und symmetrisch, sind die Eigenvektoren [mm] v_i [/mm] von A reell und orthogonal zueinander, d.h. es existiert eine Matrix S mit S = [mm] (v_1,...,v_n). [/mm] Somit ist S ist eine Orthogonale Matrix und S ist Orthonormalbasis des [mm] \IR^{n}. [/mm] Bezeichne [mm] \lambda_i [/mm] als der Eigenwert der zum Eigenvektor [mm] v_i [/mm] gehört, dann gilt [mm] S^{T}AS [/mm] = [mm] diag(\lambda_1,...\lambda_n), [/mm] d.h. eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonalen.
Irgendwelche Fehler bisher?
Aber ich seh nicht, wie mich das jetzt weiterbringt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 18.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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