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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Fr 06.11.2009 | | Autor: | fmath |
| Aufgabe | Seien x, y [mm] \in \IR [/mm] . Zeigen Sie die oft benötigte Ungleichung
( [mm] ||x||+||y||)^{2} \le c(||x||^{2} +||y||^{2}) [/mm]
mit einer von x und y unabhängigen Konstante c. Ist c = 1 auch möglich? |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe zu lösen und bin so vorgegange, nur weiß ich nicht ob ich richtig liege.
Die Gleichung sieht genauso wie die Parallelogrammungleichung nur fehlt bei der rechte Seite die 2.teile davon und zwar [mm] ||x||-||y||^{2}.
[/mm]
Ich bin hier wie bei der Beweis der Parallelogrammungleichung vorgegangen:
[mm] ||x||+||y||^{2} [/mm] = <x+y, x+y>
= <x, x+y> +<y, x+y>
= <x,x>+2<y,x>+<y,y>
[mm] \le ||x||^{2}+||y||^{2}+2|| [/mm]
[mm] \le ||x||^{2}+||y||^{2}+2||x||||y|| [/mm]
= [mm] ||x||^{2} +||y||^{2} [/mm]
Meine Frage wäre: Ich weiß ja, dass x und y orthogonal sind, kann ich da schon 2<x,y>=0 setzen? wenn ja dann muss c=1? sein oder muss ich anders vorgehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke für jede Überlegung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Fr 06.11.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien x, y [mm]\in \IR[/mm] . Zeigen Sie die oft benötigte
> Ungleichung
>
> ( [mm]||x||+||y||)^{2} \le c(||x||^{2} +||y||^{2})[/mm]
>
> mit einer von x und y unabhängigen Konstante c. Ist c = 1
> auch möglich?
soll dabei wirklich $x,y [mm] \in \red{\IR}$ [/mm] gelten? Nicht eher [mm] $\IR^n$?
[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe folgende Aufgabe zu lösen und bin so vorgegange,
> nur weiß ich nicht ob ich richtig liege.
>
> Die Gleichung sieht genauso wie die
> Parallelogrammungleichung nur fehlt bei der rechte Seite
> die 2.teile davon und zwar [mm]||x||-||y||^{2}.[/mm]
>
> Ich bin hier wie bei der Beweis der
> Parallelogrammungleichung vorgegangen:
>
> [mm]||x||+||y||^{2}[/mm] = <x+y, x+y>
> = <x, x+y> +<y, x+y>
> = <x,x>+2<y,x>+<y,y>
> [mm]\le ||x||^{2}+||y||^{2}+2||[/mm]
> [mm]\le ||x||^{2}+||y||^{2}+2||x||||y||[/mm]
>
> = [mm]||x||^{2} +||y||^{2}[/mm]
>
>
> Meine Frage wäre: Ich weiß ja, dass x und y orthogonal
> sind, kann ich da schon 2<x,y>=0 setzen?
Ja, das geht.
> wenn ja dann muss
> c=1? sein oder muss ich anders vorgehen?
Ich versteh' oder seh' gerade gar nicht, was Du da oben glaubst, gezeigt zu haben. Natürlich kannst Du starten mit
[mm] $$\|x\|^2+\|y\|^2=\,$$
[/mm]
was sich alleine aus den Eigenschaften des Skalarprodukts und nach Definition der durch das Skalarpodukt induzierten Norm ergibt, unter Beachtung von [mm] $==0\,,$ [/mm] wegen der Orthogonalität zwischen [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $y\,.$ [/mm] Aber Deine ursprüngliche Ungleichung wäre dann zu
[mm] $$\|x|^2+\|y\|^2\ \ge \frac{1}{c}(\|x\|+\|y\|)^2$$
[/mm]
umzuschreiben (wobei [mm] $c\,>0$), [/mm] also
[mm] $$\|x\|^2+\|y\|^2$$
[/mm]
wäre dann nach unten abzuschätzen!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Sa 07.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Aus $0 [mm] \le [/mm] (||x||-||y|| [mm] )^2 [/mm] = [mm] ||x||^2+||y||^2-2||x||*||y||= [/mm] $
[mm] $2||x||^2+2||y||^2-(||x||^2+2||x||*||y||+||y||^2)=2||x||^2+2||y||^2 -(||x||+||y||)^2 [/mm] $
folgt, dass man c=2 wählen kann
FRED
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