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| Aufgabe | Beweisen Sie die nachfolgende Ungleichung !
Für jede natürliche Zahl n>1 gilt:
(a) [mm] \left( 1+\bruch{1}{n-1} \right)^{n}>\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1}
[/mm]
(b) Untersuchen Sie die Folgen [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] a_n=\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1} [/mm] auf Beschränktheit. |
Es gab noch den Hinweis auf eine Übung die wir gemacht haben, die ich nicht verstanden habe, da der Prof sich währenddessen mehrfach verrechnete und verbesserte. Allerdings wurde hier mit der Bernoulli'schen Ungleichung gearbeitet.
Wenn mir das noch mal jemand erklären könnte, wie ein Beweis mit dieser Bernoulli-Ungleichung funktioniert wär das super.
Vielen Dank im Vorraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Do 01.01.2009 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Lässt sich relativ einfach mit der vollständigen Induktion beweisen.
Gruß ONeill
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Do 01.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Beweisen Sie die nachfolgende Ungleichung !
> Für jede natürliche Zahl n>1 gilt:
>
> (a) [mm]\left( 1+\bruch{1}{n-1} \right)^{n}>\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1}[/mm]
Im Induktionsschritt ist zu zeigen, dass
[mm] \left(1+\bruch{1}{n-1\red{+1}}\right)^{n\red{+1}}>\left(1+\bruch{1}{n\red{+1}}\right)^{n+1\red{+1}}
[/mm]
Als Voraussetzung darfst du annehmen, dass
[mm] \left(1+\bruch{1}{n-1}\right)^{n}>\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1} [/mm] gilt, alles andere musst du mit geeigneten Abschätzungen machen.
>
> (b) Untersuchen Sie die Folgen [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit
> [mm]a_n=\left( 1+\bruch{1}{n} \right)^{n+1}[/mm] auf
> Beschränktheit.
Wie du hier nachlesen kannst, gilt:
[mm] e=\limes_{n \to \infty}\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n\approx2,7182818...
[/mm]
Und jetzt forme mal um:
[mm] a_{n}=\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}
[/mm]
[mm] =\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}*\left(1+\bruch{1}{n}\right)
[/mm]
> Es gab noch den Hinweis auf eine Übung die wir gemacht
> haben, die ich nicht verstanden habe, da der Prof sich
> währenddessen mehrfach verrechnete und verbesserte.
> Allerdings wurde hier mit der Bernoulli'schen Ungleichung
> gearbeitet.
>
> Wenn mir das noch mal jemand erklären könnte, wie ein
> Beweis mit dieser Bernoulli-Ungleichung funktioniert wär
> das super.
>
> Vielen Dank im Vorraus.
Versuch mal, mit den Tipps weiterzukommen.
Marius
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