Beweis einer Ungleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \bruch{n}{\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{a_{k}}} \le \wurzel[n]{\produkt_{k=1}^{n}{a_{k}}}
[/mm]
Beweisen Sie für n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] a_{1},...,a_{n} \in (0,\infty) [/mm] die obige Ungleichung! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Nun mein Lösungsansatz wäre das "Limes" für a -> [mm] \infty [/mm] laufen zu lassen!
[mm] \bruch{n}{\limes_{a\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{a_{k}}}
[/mm]
Was mich dabei stört ist allerdings das n.
Ich weiß nicht, wie ich das darstellen soll, um n [mm] \in \IN [/mm] sauber zu formulieren.
Hoffe auf schnelle und korrekte Antwort. Wobei die Schnelligkeit zweitrangig ist ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fibonacci-,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wie willst Du denn $a_$ gegen [mm] $\infty$ [/mm] laufen lassen? Das geht nämlich nicht, da dies die einzelnen Folgenglieder sind. Und über diese Folge [mm] $\left_{n\in\IN}$ [/mm] ist ja lediglich bekannt, dass jedes Folgenglied positiv ist.
Der Nachweis dieser Ungleichung wird wohl über vollständige Induktion nach dem Laufindex $n_$ gehen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:24 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Fibonacci- |
> Hallo Fibonacci-,
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> !!
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> Wie willst Du denn [mm]a_[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] laufen lassen? Das geht
> nämlich nicht, da dies die einzelnen Folgenglieder sind.
> Und über diese Folge [mm]\left_{n\in\IN}[/mm] ist ja
> lediglich bekannt, dass jedes Folgenglied positiv ist.
>
> Der Nachweis dieser Ungleichung wird wohl über vollständige
> Induktion nach dem Laufindex [mm]n_[/mm] gehen ...
>
>
> Gruß
> Loddar
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nun gut... wie soll dann deine n -> n+1 Darstellung aussehen, wenn du die Induktion anwendest?
Demnach wäre ja A(1) wahr | a1=a1
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:52 Di 30.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fibonnacci!
Poste doch mal, wie weit Du selber kommst ...
Gruß
Loddar
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