Beweis einer Reihe per Indukti < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mi 28.03.2007 | | Autor: | brodo |
| Aufgabe | Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für jedes n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] 2²+4²+6²+...+(2n+2)²=\bruch{2}{3}(n+1)(n+2)(2n+3) [/mm] |
I. Induktionsanfang:
[mm] 2²+4²=\bruch{2}{3}\cdot 2\cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 5
20 = 20
(w)
II. Induktionsschritt
1. Annahme
[mm] 2²+4²+6²+...+(2n+2)²=\bruch{2}{3}(n+1)(n+2)(2n+3) [/mm]
2. Behauptung
[mm] 2²+4²+6²+...+(2n+2)²+(2n+4)²=\bruch{2}{3}(n+2)(n+3)(2n+5)
[/mm]
3. Beweis
[mm] 2²+4²+6²+...+(2n+2)²+(2n+4)²=\bruch{2}{3}(n+2)(n+3)(2n+5)
[/mm]
II.1. eingesetzt
[mm] \bruch{2}{3}(n+1)(n+2)(2n+3)+(2n+4)²=\bruch{2}{3}(n+2)(n+3)(2n+5)
[/mm]
Wenn man das nun aus multipliziert kommt
man auf
[mm] 1\bruch{1}{3}n³+10n²+24\bruch{2}{3}n+20
[/mm]
auf beiden Seiten. So schön so gut, aber ich weis nicht ob der ganze Ansatz so überhaupt stimmt. schachuzipus hatte bei ner anderen Induktion schon mal bemängelt, das ich im Beweis von der Behauptung ausgehe obwohl ich sie ja eigentlich beweisen soll. Was könnte ich da anders machen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für jedes n
> [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm]2²+4²+6²+...+(2n+2)²=\bruch{2}{3}(n+1)(n+2)(2n+3)[/mm]
> I. Induktionsanfang:
> [mm]2²+4²=\bruch{2}{3}\cdot 2\cdot[/mm] 3 [mm]\cdot[/mm] 5
> 20 = 20
> (w) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") du kannst den IA auch bei n=0 beginnen, klappt auch
>
> II. Induktionsschritt
> 1. Annahme
> [mm]2²+4²+6²+...+(2n+2)²=\bruch{2}{3}(n+1)(n+2)(2n+3)[/mm]
>
> 2. Behauptung
> [mm]2²+4²+6²+...+(2n+2)²+(2n+4)²=\bruch{2}{3}(n+2)(n+3)(2n+5)[/mm]
>
> 3. Beweis
> [mm]2²+4²+6²+...+(2n+2)²+(2n+4)²=\bruch{2}{3}(n+2)(n+3)(2n+5)[/mm]
>
> II.1. eingesetzt
>
> [mm]\bruch{2}{3}(n+1)(n+2)(2n+3)+(2n+4)²=\bruch{2}{3}(n+2)(n+3)(2n+5)[/mm]
>
> Wenn man das nun aus multipliziert kommt
> man auf
>
> [mm]1\bruch{1}{3}n³+10n²+24\bruch{2}{3}n+20[/mm]
>
> auf beiden Seiten. So schön so gut, aber ich weis nicht ob
> der ganze Ansatz so überhaupt stimmt. schachuzipus hatte
> bei ner anderen Induktion schon mal bemängelt, das ich im
> Beweis von der Behauptung ausgehe obwohl ich sie ja
> eigentlich beweisen soll. Was könnte ich da anders machen?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo brodo,
das kannste so machen, sind ja sämtlich [mm] \bold{Aequivalenzumformungen}.
[/mm]
Am Schluß steht da eine wahre Aussage, wenn du auf beiden Seiten [mm] -1\bruch{1}{3}n³+10n²+24\bruch{2}{3}n+20 [/mm] machst, steht ja dann da 0=0.
dein Beweis ist also ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") .
Ich würde aber unbedingt Äquivalenzpfeile [mm] \gdw [/mm] dazuschreiben.
Soweit ich mich dunkel erinnern hatte ich das in dem anderen post nicht "bemängelt", sondern nur darauf hingewiesen - wie hier - dass das bei Äquivalenzumformungen ok ist,
eleganter ist allerdings, die linke Seite der IndBeh zu nehmen und sie mithilfe der IndVor zur rechten Seite umzuformen.
Aber das ist Ansichtssache. 
Wie gesagt, dein Beweis hier ist total i.O.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
