Beweis einer Nullfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Do 05.11.2009 | | Autor: | Steirer |
| Aufgabe | Beweisen sie das es sich bei folgender Folge um eine Nullfolge handelt.
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{n}{n^{2}+1} [/mm] |
Wie kann ich das Beweisen?
Ich denke mal per Induktion kann ich zeigen das diese Folge monoton Fallend ist.
Basis:
n=1
[mm] \bruch{1}{1^{2}+1}=\bruch{1}{2}
[/mm]
n=2
[mm] \bruch{2}{2^{2}+1}=\bruch{2}{5}
[/mm]
Induktionshypothese:
[mm] \bruch{n+1}{(n+1)^{2}+1}\le \bruch{n}{n^{2}+1}
[/mm]
durch umformen erhalte ich dann:
[mm] n^{3}+n^{2}+n+1\le n^{3}+2*n^{2}+2*n
[/mm]
1 [mm] \le n^{2}+n
[/mm]
womit die monotonie bewiesen sein sollte.
Was muss ich jetzt noch machen?
Muss ich die Beschränktheit zeigen und wenn ja wie oder reicht es zu zeigen das der Grenzwert 0 ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Do 05.11.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo Steirer,
irgendetwas kann da in der Aufgabenstellung nicht ganz stimmen, denn die Folge [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{n}{n^2 + 1} [/mm] ist keine Nullfolge. Oder was war da tatsächlich gemeint?
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Do 05.11.2009 | | Autor: | Steirer |
Ok ich habs wohl falsch formuliert.
Die richtige Angabe lautet:
Untersuchen sie folgende Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{n}{n^{2}+1}
[/mm]
Ich weis das ich da das Wurzelkriterium verwenden kann.
Ich muß nur sicherstellen das [mm] \bruch{n}{n^{2}+1} [/mm] eine monotone Nullfolge ist damit ich das Wurzelkriterium anwenden kann.
Wie mache ich das?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Do 05.11.2009 | | Autor: | iks |
Hi Steirer!
> Untersuchen sie folgende Reihe auf Konvergenz:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{n}{n^{2}+1}[/mm]
>
> Ich weis das ich da das Wurzelkriterium verwenden kann.
>
> Ich muß nur sicherstellen das [mm]\bruch{n}{n^{2}+1}[/mm] eine
> monotone Nullfolge ist damit ich das Wurzelkriterium
> anwenden kann.
>
> Wie mache ich das?
>
> Danke
Am besten gar nicht mit dem Wurzelkriterium sondern mit dem Leibnizkriterium - ist bei alternierenden Reihen meist handlicher.
mFg iks
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:37 Fr 06.11.2009 | | Autor: | Steirer |
Enschuldige, ich bin schon ein bißchen durcheinander.
Meinte das Leibnizkrit.
Das zu machen ist auch nicht mein Problem. Zu zeigen das die Folge eine monotone Nullfolge ist ist mein Problem.
Vieleicht kann mir jemand sagen wie der Beweis zu führen ist.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Fr 06.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Dass [mm] (\bruch{n}{n^2+1}) [/mm] eine Nullfolge ist , dürfte klar sein.
Um zu zeigen, dass diese Folge fallend ist, sind doch nur einige ganz elementare Äquivalenzumformungen nötig:
[mm] $\bruch{n+1}{(n+1)^2+1} \le \bruch{n}{n^2+1} \gdw (n+1)(n^2+1) \le n((n+1)^2+1) \gdw [/mm] ......$
FRED
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