Beweis einer Mengengleichung < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe | Ich soll zeigen, dass folgendes gilt:
M [mm] \cup [/mm] N = M [mm] \cap [/mm] O [mm] \Rightarrow [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] N [mm] \subseteq [/mm] O |
Hallo Leute beschäftige mich gerade mit der obigen Aufgabe. Ich bin völlig neu in dem Thema und weiß nicht genau, ob ich sie richtig gelöst habe.
Hier meine Lösungsskizze:
Vorraussetzung: M [mm] \cup [/mm] N = N [mm] \cap [/mm] O
zu zeigen: M [mm] \subseteq [/mm] N [mm] \subseteq [/mm] O
sei x [mm] \varepsilon [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] (N [mm] \cap [/mm] O)
x [mm] \varepsilon [/mm] (N [mm] \cap [/mm] O) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \varepsilon \wedge [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] O
da jetzt M [mm] \cup [/mm] N = N [mm] \cap [/mm] O gilt ist x [mm] \varepsilon [/mm] M
also ist x [mm] \varepsilon [/mm] M , x [mm] \varepsilon [/mm] N und x [mm] \varepsilon [/mm] O
daraus folgt dann das M [mm] \subseteq [/mm] N [mm] \subseteq [/mm] O ist.
Glaubt ihr, das der erste Teil richtig sein könnte?
Bei der zweiten Richtung bin ich mir unsicher - hier ist mein Weg:
Voraussetzung: M [mm] \subseteq [/mm] N [mm] \subseteq [/mm] O
zu zeigen: M [mm] \cup [/mm] N = M [mm] \cap [/mm] O
Seien M, N und O drei nicht leere Mengen dann gibt es [mm] \exists [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] (M [mm] \subseteq [/mm] N [mm] \subseteq [/mm] O)
so das folgt das x [mm] \varepsilon [/mm] M ist und x [mm] \varepsilon [/mm] N ist und x [mm] \varepsilon [/mm] O ist.
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] (N [mm] \cap [/mm] O) und x [mm] \varepsilon [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N)
Ergo sind (N [mm] \cap [/mm] O) und (M [mm] \cup [/mm] N) identisch.
Der letzte Teil ist der wo ich mir unsicher bin. Wenn alle drei Mengen Teilmengen voneinander sind, dann haben diese auch zwingend die gleichen Elemente. Und deswegen gehts ja ganricht anders, als das Schnitt und Vereinigung gleich sind. Die Frage ist also, ist meine Lösung formal gesehen ausreichend?
Vielen vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich soll zeigen, dass folgendes gilt:
>
> M [mm]\cup[/mm] N = M [mm]\cap[/mm] O [mm]\Rightarrow[/mm] M [mm]\subseteq[/mm] N [mm]\subseteq[/mm] O
> Hallo Leute beschäftige mich gerade mit der obigen
> Aufgabe. Ich bin völlig neu in dem Thema und weiß nicht
> genau, ob ich sie richtig gelöst habe.
>
> Hier meine Lösungsskizze:
>
> Vorraussetzung: M [mm]\cup[/mm] N = N [mm]\cap[/mm] O
>
> zu zeigen: M [mm]\subseteq[/mm] N [mm]\subseteq[/mm] O
>
> sei x [mm]\varepsilon[/mm] N [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] (N [mm]\cap[/mm] O)
warum fängst Du mit $x [mm] \in [/mm] N$ an? Und wieso kannst Du direkt
$x [mm] \in [/mm] (N [mm] \cap [/mm] O)$ folgern? Das folgt erst wegen $N [mm] \subseteq [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N)$
und der gegebenen Voraussetzung!
> x [mm]\varepsilon[/mm] (N [mm]\cap[/mm] O) [mm]\gdw[/mm] x [mm]\varepsilon \wedge[/mm] x
> [mm]\varepsilon[/mm] O
>
> da jetzt M [mm]\cup[/mm] N = N [mm]\cap[/mm] O gilt ist x [mm]\varepsilon[/mm] M
>
> also ist x [mm]\varepsilon[/mm] M , x [mm]\varepsilon[/mm] N und x
> [mm]\varepsilon[/mm] O
>
> daraus folgt dann das M [mm]\subseteq[/mm] N [mm]\subseteq[/mm] O ist.
>
>
> Glaubt ihr, das der erste Teil richtig sein könnte?
Ehrlich gesagt, nicht - dazu ist er ein wenig zu wirr. Du "vermischst" da zu
viel, wenngleich sicher auch die ein oder andere richtige Überlegung dabei
ist!
> Bei der zweiten Richtung bin ich mir unsicher - hier ist
> mein Weg:
>
> Voraussetzung: M [mm]\subseteq[/mm] N [mm]\subseteq[/mm] O
>
> zu zeigen: M [mm]\cup[/mm] N = M [mm]\cap[/mm] O
>
> Seien M, N und O drei nicht leere Mengen
Wo steht, dass Du das brauchst? Oben wird das nirgends vorausgesetzt,
also mach' hier keine unnötigen Einschränkungen, es sei denn, Du
begründest, warum die Behauptung ohne diese falsch wäre! Aber dann
wäre prinzipiell schon die ganze Aufgabe falsch formuliert!
> dann gibt es
> [mm]\exists[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] (M [mm]\subseteq[/mm] N [mm]\subseteq[/mm] O)
>
> so das folgt das x [mm]\varepsilon[/mm] M ist und x [mm]\varepsilon[/mm] N
> ist und x [mm]\varepsilon[/mm] O ist.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] (N [mm]\cap[/mm] O) und x [mm]\varepsilon[/mm] (M
> [mm]\cup[/mm] N)
>
> Ergo sind (N [mm]\cap[/mm] O) und (M [mm]\cup[/mm] N) identisch.
??
> Der letzte Teil ist der wo ich mir unsicher bin. Wenn alle
> drei Mengen Teilmengen voneinander sind, dann haben diese
> auch zwingend die gleichen Elemente.
So, wie Du das formulierst, meint man, Du meinst:
$$(A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \text{ und }B \subseteq [/mm] C [mm] \text{ und }B \subseteq [/mm] A [mm] \text{ und }C \subseteq [/mm] B) [mm] \Rightarrow A=B=C\,.$$
[/mm]
Das wäre richtig, aber das steht nirgends oben. (Übrigens gilt auch
"kürzer" $(A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] C [mm] \subseteq [/mm] A) [mm] \Rightarrow A=B=C\,.$)
[/mm]
Und dass Deine letztstehende Aussage nichts mit der Aufgabe zu tun hat:
[mm] $$\{1\} \subseteq \{1,2\} \subseteq \{1,2,3\}$$
[/mm]
sind (in dieser Reihenfolge!) Mengen [mm] $M,N,O\,$ [/mm] passend zur Aufgabe, aber
gar nicht passend zu Deiner letzten Aussage!
> Und deswegen gehts ja
> ganricht anders, als das Schnitt und Vereinigung gleich
> sind. Die Frage ist also, ist meine Lösung formal gesehen
> ausreichend?
Nein. Du zeigst da eigentlich gar nichts bezüglich der Aufgabe!
Also so ganz versteh' ich generell Deine Vorgehensweise schon nicht.
Vielleicht "zerlegen" wir mal die Aufgabe:
1. Teil [mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Voraussetzung: Es gelte $M [mm] \cup [/mm] N= N [mm] \cap [/mm] O$
Behauptung(en):
a) Es gilt $M [mm] \subseteq N\,.$
[/mm]
und
b) Es gilt $N [mm] \subseteq O\,.$
[/mm]
Zu a): Sei $x [mm] \in [/mm] M$ irgendein beliebiges Element. Dann gilt $x [mm] \in [/mm] M$ oder
$x [mm] \in N\,,$ [/mm] also folgt insbesondere $x [mm] \in [/mm] (M [mm] \cup N)\,.$ [/mm] (Kurz gesagt: Es ist $M [mm] \subseteq [/mm] (M [mm] \cup N)\,.$)
[/mm]
Nach Voraussetzung ist aber ..., und damit folgt $x [mm] \in ...\,,$ [/mm] so dass wegen $(N [mm] \cap [/mm] O) [mm] \subseteq [/mm] N$ auch folgt $x [mm] \in ...\,.$
[/mm]
Da $x [mm] \in [/mm] M$ beliebig war, gilt für alle $x [mm] \in [/mm] M$ auch $x [mm] \in [/mm] N$ und damit ...?
Zu b): Sei $x [mm] \in [/mm] N$ irgendein Element. Dann ist $x [mm] \in [/mm] (N [mm] \cup M)=...\,,$ [/mm]
also folgt aus der Voraussetzung $... [mm] \in [/mm] (N [mm] \cap O),\,$ [/mm] und wegen
$(N [mm] \cap [/mm] O) [mm] \subseteq [/mm] O$ folgt ... ?
Da $x [mm] \in [/mm] N$ beliebig war, gilt für alle $x [mm] \in [/mm] N$ auch $x [mm] \in [/mm] O$ und damit ...?
Jetzt der andere Beweisteil [mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Hier wird nun vorausgesetzt: Es gelte $M [mm] \subseteq [/mm] N [mm] \subseteq O\,.$
[/mm]
Zu zeigen sind nun zwei Dinge:
c) Es gilt $(M [mm] \cup [/mm] N) [mm] \subseteq [/mm] (N [mm] \cap [/mm] O)$
und
d) Es gilt $(N [mm] \cap [/mm] O) [mm] \subseteq [/mm] (M [mm] \cup N)\,.$
[/mm]
Ich zeige Dir nun c), d) versuchst Du dann alleine zu lösen:
Zu c):
Sei $x [mm] \in [/mm] M [mm] \cup N\,.$ [/mm] Dann gibt es zwei (sich nicht(!) ausschließende)
Fälle:
Es gilt $x [mm] \in [/mm] M$ oder es gilt $x [mm] \in N\,.$ [/mm] Ist $x [mm] \in N\,,$ [/mm] so folgt wegen
$N [mm] \subseteq [/mm] O$ auch $x [mm] \in O\,,$ [/mm] also ist dann sowohl $x [mm] \in [/mm] N$ als auch
$x [mm] \in [/mm] O$ und damit $x [mm] \in [/mm] (N [mm] \cap O)\,.$
[/mm]
Ist aber $x [mm] \in M\,,$ [/mm] so folgt wiederum wegen $M [mm] \subseteq [/mm] N$ sodann
$x [mm] \in [/mm] N$ und wir sehen $x [mm] \in [/mm] (N [mm] \cap [/mm] O)$ genau wie oben ein!
Zu d):
Sei $x [mm] \in [/mm] N [mm] \cap O\,.$ [/mm] Dann gilt sowohl $x [mm] \in [/mm] N$ als auch $x [mm] \in O\,.$ [/mm]
Warum ist dann nun $x [mm] \in [/mm] M [mm] \cup [/mm] N$?
P.S.
Fülle insbesondere auch die Lücken aus. Wenn Du sie so ausfüllst, wie ich
es mir gedacht habe, passt das alles. Wenn Du da die ein oder andere ein
wenig "zu schnell" ausfüllst, wird die Folgelücke inklusive des Folgetextes
vielleicht ein wenig "überflüssig".
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Hallo Marcel! Vielen vielen Dank für deine sehr ausführliche Antwort. Ich glaube, das hat mich unabhängig der Aufgabe, thematisch sehr sehr weit gebracht! Tausend Dank!
a) bis c) leuchten mir ein! Vielleicht schreibe ich sie einfach der Kontrolle wegen später enoch einmal vollständig auf.
zu d)
zu zeigen ist ja: (N [mm] \cap [/mm] O) [mm] \subseteq [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N)
Vorraussetzung ist M $ [mm] \subseteq [/mm] $ N $ [mm] \subseteq [/mm] $ O
sei nun x [mm] \varepsilon [/mm] (N [mm] \cap [/mm] O). Dann folgt daraus x [mm] \varepsilon [/mm] N und x [mm] \varepsilon [/mm] O. Auch folgt daraus wegen x [mm] \varepsilon [/mm] N, dass N [mm] \subseteq [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N) ist.
Der Vorraussetzung wegen, dass M [mm] \subseteq [/mm] N geht hervor das x auch Element von M sein muss? Und deswegen ist auch x [mm] \varepsilon [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N).
Ist das so einfach? ^^
Nochmals tausend Dank für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Sa 13.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Marcel! Vielen vielen Dank für deine sehr
> ausführliche Antwort. Ich glaube, das hat mich unabhängig
> der Aufgabe, thematisch sehr sehr weit gebracht! Tausend
> Dank!
>
> a) bis c) leuchten mir ein! Vielleicht schreibe ich sie
> einfach der Kontrolle wegen später enoch einmal
> vollständig auf.
>
> zu d)
>
> zu zeigen ist ja: (N [mm]\cap[/mm] O) [mm]\subseteq[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N)
> Vorraussetzung ist M [mm]\subseteq[/mm] N [mm]\subseteq[/mm] O
>
> sei nun x [mm]\varepsilon[/mm] (N [mm]\cap[/mm] O). Dann folgt daraus x
> [mm]\varepsilon[/mm] N und x [mm]\varepsilon[/mm] O. Auch folgt daraus wegen
> x [mm]\varepsilon[/mm] N, dass N [mm]\subseteq[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N) ist.
> Der Vorraussetzung wegen, dass M [mm]\subseteq[/mm] N geht hervor
> das x auch Element von M sein muss? Und deswegen ist auch x
> [mm]\varepsilon[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N).
>
> Ist das so einfach? ^^
Ja
FRED
>
> Nochmals tausend Dank für die Hilfe!
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Vielen Dank! Damit ist soweit alles geklärt!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Der Vorraussetzung wegen, dass M [mm]\subseteq[/mm] N geht
> hervor
> > das x auch Element von M sein muss? Und deswegen ist auch x
> > [mm]\varepsilon[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N).
> >
> > Ist das so einfach? ^^
>
> Ja
Deine Antwort bezieht sich aber nur auf die letzte Frage ^^
Denn dass aus $M [mm] \subseteq [/mm] N$ und $x [mm] \in [/mm] N$ dann auch $x [mm] \in [/mm] N$ UND
$x [mm] \in [/mm] M$ folgt, ist Quatsch:
@ Sauri:
[mm] $$M=\{1,2,3\}$$
[/mm]
[mm] $$N=\{1,2,3,4\}$$
[/mm]
und $4 [mm] \in [/mm] N,$ aber $4 [mm] \notin M\,,$ [/mm] obwohl [mm] $M\subseteq N\,.$
[/mm]
Ferner bedeutet $x [mm] \in [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N)$ NICHT $x [mm] \in [/mm] M$ UND $x [mm] \in N\,,$ [/mm]
sondern nur $x [mm] \in [/mm] M$ ODER $x [mm] \in N\,.$
[/mm]
Es gilt
$x [mm] \in [/mm] (M [mm] \cap [/mm] N) [mm] \gdw [/mm] $($x [mm] \in [/mm] M$ UND $x [mm] \in [/mm] N$),
brauchen tun wir das so aber hier nirgends!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Sa 13.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Hallo Marcel,
ich habs ja eingesehen.
https://matheraum.de/read?i=918109
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> ich habs ja eingesehen.
>
> https://matheraum.de/read?i=918109
ich weiß - ich hatte das zu spät gelesen.
P.S.
War nicht bös' gemeint!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Sa 13.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Hallo Marcel,
> >
> > ich habs ja eingesehen.
> >
> > https://matheraum.de/read?i=918109
>
> ich weiß - ich hatte das zu spät gelesen.
>
> P.S.
> War nicht bös' gemeint!
Das ist mir klar.
FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel! Vielen vielen Dank für deine sehr
> ausführliche Antwort. Ich glaube, das hat mich unabhängig
> der Aufgabe, thematisch sehr sehr weit gebracht! Tausend
> Dank!
>
> a) bis c) leuchten mir ein! Vielleicht schreibe ich sie
> einfach der Kontrolle wegen später enoch einmal
> vollständig auf.
>
> zu d)
>
> zu zeigen ist ja: (N [mm]\cap[/mm] O) [mm]\subseteq[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N)
> Vorraussetzung ist M [mm]\subseteq[/mm] N [mm]\subseteq[/mm] O
>
> sei nun x [mm]\varepsilon[/mm] (N [mm]\cap[/mm] O). Dann folgt daraus x
> [mm]\varepsilon[/mm] N und x [mm]\varepsilon[/mm] O. Auch folgt daraus wegen
> x [mm]\varepsilon[/mm] N, dass N [mm]\subseteq[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N) ist.
![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]") : Nicht wegen $x [mm] \in [/mm] N$ folgt $N [mm] \subseteq [/mm] (M [mm] \cup N)\,,$ [/mm] sondern
wegen $N [mm] \subseteq [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N)$ folgt mit $x [mm] \in [/mm] N$ sofort $x [mm] \in [/mm] (M [mm] \cup N)\,.$
[/mm]
> Der Vorraussetzung wegen, dass M [mm]\subseteq[/mm] N geht hervor
> das x auch Element von M sein muss?
Du brauchst aber nicht $x [mm] \in [/mm] (M [mm] \cap N)\,,$ [/mm] abgesehen davon ist die
Folgerung $x [mm] \in [/mm] N$ und $M [mm] \subseteq [/mm] N$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] M$ FALSCH!
Eine richtige wäre etwa $x [mm] \in [/mm] M$ und $M [mm] \subseteq [/mm] N$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x [mm] \in N\,.$
[/mm]
> Und deswegen ist auch x
> [mm]\varepsilon[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N).
>
> Ist das so einfach? ^^
Es ist einfach, aber Du denkst viel zu kompliziert:
Sei $x [mm] \in [/mm] (N [mm] \cap O)\,.$ [/mm] Dann ist insbesondere $x [mm] \in N\,.$ [/mm] (Es gilt ja
SOWOHL $x [mm] \in [/mm] N$ ALS AUCH $x [mm] \in O\,.$) [/mm] Wegen $N [mm] \subseteq [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N)$
(Beweis: Wenn $n [mm] \in [/mm] N$ ist, dann gilt auch $n [mm] \in [/mm] M$ ODER $n [mm] \in [/mm] N$!)
folgt aus $x [mm] \in [/mm] N$ also $x [mm] \in [/mm] (M [mm] \cup N)\,.$ [/mm] Es ist vollkommen
uninteressant, ob das [mm] $x\,$ [/mm] schlussendlich in [mm] $M\,$ [/mm] liegt oder nicht - es
wird immer zu [mm] $N\,$ [/mm] und damit auch zu $(M [mm] \cup [/mm] N)$ gehören!
P.S.
Ich glaube, Fred hatte sich Deine Frage nicht genau genug durchgelesen...
P.P.S.
Wie Du siehst, brauchen wir die Voraussetzung $M [mm] \subseteq [/mm] N [mm] \subseteq [/mm] O$ hier an keiner Stelle.
Das ist auch klar, wenn man sich das mal skizziert (Stichwort: ![[]](/images/popup.gif) Venn-Diagramme),
wird es sogar noch offensichtlicher:
Teilmengen einer Menge sind immer auch Teilmengen von Obermengen der
Menge.
Warum sage ich das? Nunja, es gilt "offensichtlich":
$$(N [mm] \cap [/mm] O) [mm] \subseteq [/mm] N [mm] \subseteq [/mm] (M [mm] \cup N)\,.$$
[/mm]
(Offensichtlich heißt: Der Beweis läßt sich in etwa in einer Zeile führen!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Sa 13.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Hallo Marcel! Vielen vielen Dank für deine sehr
> > ausführliche Antwort. Ich glaube, das hat mich unabhängig
> > der Aufgabe, thematisch sehr sehr weit gebracht! Tausend
> > Dank!
> >
> > a) bis c) leuchten mir ein! Vielleicht schreibe ich sie
> > einfach der Kontrolle wegen später enoch einmal
> > vollständig auf.
> >
> > zu d)
> >
> > zu zeigen ist ja: (N [mm]\cap[/mm] O) [mm]\subseteq[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N)
> > Vorraussetzung ist M [mm]\subseteq[/mm] N [mm]\subseteq[/mm] O
> >
> > sei nun x [mm]\varepsilon[/mm] (N [mm]\cap[/mm] O). Dann folgt daraus x
> > [mm]\varepsilon[/mm] N und x [mm]\varepsilon[/mm] O. Auch folgt daraus wegen
> > x [mm]\varepsilon[/mm] N, dass N [mm]\subseteq[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N) ist.
>
> : Nicht wegen [mm]x \in N[/mm] folgt [mm]N \subseteq (M \cup N)\,,[/mm]
> sondern
> wegen [mm]N \subseteq (M \cup N)[/mm] folgt mit [mm]x \in N[/mm] sofort [mm]x \in (M \cup N)\,.[/mm]
>
> > Der Vorraussetzung wegen, dass M [mm]\subseteq[/mm] N geht hervor
> > das x auch Element von M sein muss?
>
> Du brauchst aber nicht [mm]x \in (M \cap N)\,,[/mm] abgesehen davon
> ist die
> Folgerung [mm]x \in N[/mm] und [mm]M \subseteq N[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x \in M[/mm]
> FALSCH!
> Eine richtige wäre etwa [mm]x \in M[/mm] und [mm]M \subseteq N[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x \in N\,.[/mm]
>
> > Und deswegen ist auch x
> > [mm]\varepsilon[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N).
> >
> > Ist das so einfach? ^^
>
> Es ist einfach, aber Du denkst viel zu kompliziert:
> Sei [mm]x \in (N \cap O)\,.[/mm] Dann ist insbesondere [mm]x \in N\,.[/mm]
> (Es gilt ja
> SOWOHL [mm]x \in N[/mm] ALS AUCH [mm]x \in O\,.[/mm]) Wegen [mm]N \subseteq (M \cup N)[/mm]
>
> (Beweis: Wenn [mm]n \in N[/mm] ist, dann gilt auch [mm]n \in M[/mm] ODER [mm]n \in N[/mm]!)
>
> folgt aus [mm]x \in N[/mm] also [mm]x \in (M \cup N)\,.[/mm] Es ist
> vollkommen
> uninteressant, ob das [mm]x\,[/mm] schlussendlich in [mm]M\,[/mm] liegt oder
> nicht - es
> wird immer zu [mm]N\,[/mm] und damit auch zu [mm](M \cup N)[/mm] gehören!
>
> P.S.
> Ich glaube, Fred hatte sich Deine Frage nicht genau genug
> durchgelesen...
Hallo Marcel,
.... da hast Du mal wieder recht.
Ich hab kurz davor meine Steuererklärung (nach 3 Stunden !) fertiggemacht. Hoffentlich habe ich da keine solchen Schnitzer drin.
Gruß
FRED
>
> P.P.S.
> Wie Du siehst, brauchen wir die Voraussetzung [mm]M \subseteq N \subseteq O[/mm]
> hier an keiner Stelle.
> Das ist auch klar, wenn man sich das mal skizziert
> (Stichwort:
> Venn-Diagramme),
> wird es sogar noch offensichtlicher:
> Teilmengen einer Menge sind immer auch Teilmengen von
> Obermengen der
> Menge.
>
> Warum sage ich das? Nunja, es gilt "offensichtlich":
> [mm](N \cap O) \subseteq N \subseteq (M \cup N)\,.[/mm]
>
> (Offensichtlich heißt: Der Beweis läßt sich in etwa in
> einer Zeile führen!)
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo,
> >
> > > Hallo Marcel! Vielen vielen Dank für deine sehr
> > > ausführliche Antwort. Ich glaube, das hat mich unabhängig
> > > der Aufgabe, thematisch sehr sehr weit gebracht! Tausend
> > > Dank!
> > >
> > > a) bis c) leuchten mir ein! Vielleicht schreibe ich sie
> > > einfach der Kontrolle wegen später enoch einmal
> > > vollständig auf.
> > >
> > > zu d)
> > >
> > > zu zeigen ist ja: (N [mm]\cap[/mm] O) [mm]\subseteq[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N)
> > > Vorraussetzung ist M [mm]\subseteq[/mm] N [mm]\subseteq[/mm] O
> > >
> > > sei nun x [mm]\varepsilon[/mm] (N [mm]\cap[/mm] O). Dann folgt daraus x
> > > [mm]\varepsilon[/mm] N und x [mm]\varepsilon[/mm] O. Auch folgt daraus wegen
> > > x [mm]\varepsilon[/mm] N, dass N [mm]\subseteq[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N) ist.
> >
> > : Nicht wegen [mm]x \in N[/mm] folgt [mm]N \subseteq (M \cup N)\,,[/mm]
> > sondern
> > wegen [mm]N \subseteq (M \cup N)[/mm] folgt mit [mm]x \in N[/mm] sofort [mm]x \in (M \cup N)\,.[/mm]
>
> >
> > > Der Vorraussetzung wegen, dass M [mm]\subseteq[/mm] N geht hervor
> > > das x auch Element von M sein muss?
> >
> > Du brauchst aber nicht [mm]x \in (M \cap N)\,,[/mm] abgesehen davon
> > ist die
> > Folgerung [mm]x \in N[/mm] und [mm]M \subseteq N[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x \in M[/mm]
> > FALSCH!
> > Eine richtige wäre etwa [mm]x \in M[/mm] und [mm]M \subseteq N[/mm]
> > [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x \in N\,.[/mm]
> >
> > > Und deswegen ist auch x
> > > [mm]\varepsilon[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N).
> > >
> > > Ist das so einfach? ^^
> >
> > Es ist einfach, aber Du denkst viel zu kompliziert:
> > Sei [mm]x \in (N \cap O)\,.[/mm] Dann ist insbesondere [mm]x \in N\,.[/mm]
> > (Es gilt ja
> > SOWOHL [mm]x \in N[/mm] ALS AUCH [mm]x \in O\,.[/mm]) Wegen [mm]N \subseteq (M \cup N)[/mm]
>
> >
> > (Beweis: Wenn [mm]n \in N[/mm] ist, dann gilt auch [mm]n \in M[/mm] ODER [mm]n \in N[/mm]!)
>
> >
> > folgt aus [mm]x \in N[/mm] also [mm]x \in (M \cup N)\,.[/mm] Es ist
> > vollkommen
> > uninteressant, ob das [mm]x\,[/mm] schlussendlich in [mm]M\,[/mm] liegt oder
> > nicht - es
> > wird immer zu [mm]N\,[/mm] und damit auch zu [mm](M \cup N)[/mm] gehören!
> >
> > P.S.
> > Ich glaube, Fred hatte sich Deine Frage nicht genau
> genug
> > durchgelesen...
>
>
>
> Hallo Marcel,
>
> .... da hast Du mal wieder recht.
>
>
> Ich hab kurz davor meine Steuererklärung (nach 3 Stunden
> !) fertiggemacht. Hoffentlich habe ich da keine solchen
> Schnitzer drin.
naja, Deine Antwort bzgl. "Ist das so einfach?" mit "Ja!" ist ja nicht falsch -
kann nur falsch interpretiert werden. 
Aber wenn ich eins dadurch gelernt habe: Betreibe niemals Mathematik,
nachdem Du kurz zuvor Deine Steuererklärung gemacht hast. Jetzt
verstehe ich aber auch, wie die Schnitzer zustande gekommen sind:
Die Logik der Steuererklärung... ist SEHR eigen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Sauri |
> Hallo,
>
> > Ich soll zeigen, dass folgendes gilt:
> >
> > M [mm]\cup[/mm] N = M [mm]\cap[/mm] O [mm]\Rightarrow[/mm] M [mm]\subseteq[/mm] N [mm]\subseteq[/mm] O
> > Hallo Leute beschäftige mich gerade mit der obigen
> > Aufgabe. Ich bin völlig neu in dem Thema und weiß nicht
> > genau, ob ich sie richtig gelöst habe.
> >
> > Hier meine Lösungsskizze:
> >
> > Vorraussetzung: M [mm]\cup[/mm] N = N [mm]\cap[/mm] O
> >
> > zu zeigen: M [mm]\subseteq[/mm] N [mm]\subseteq[/mm] O
> >
> > sei x [mm]\varepsilon[/mm] N [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] (N [mm]\cap[/mm] O)
>
> warum fängst Du mit [mm]x \in N[/mm] an? Und wieso kannst Du direkt
> [mm]x \in (N \cap O)[/mm] folgern? Das folgt erst wegen [mm]N \subseteq (M \cup N)[/mm]
>
> und der gegebenen Voraussetzung!
>
> > x [mm]\varepsilon[/mm] (N [mm]\cap[/mm] O) [mm]\gdw[/mm] x [mm]\varepsilon \wedge[/mm] x
> > [mm]\varepsilon[/mm] O
> >
> > da jetzt M [mm]\cup[/mm] N = N [mm]\cap[/mm] O gilt ist x [mm]\varepsilon[/mm] M
> >
> > also ist x [mm]\varepsilon[/mm] M , x [mm]\varepsilon[/mm] N und x
> > [mm]\varepsilon[/mm] O
> >
> > daraus folgt dann das M [mm]\subseteq[/mm] N [mm]\subseteq[/mm] O ist.
> >
> >
> > Glaubt ihr, das der erste Teil richtig sein könnte?
>
> Ehrlich gesagt, nicht - dazu ist er ein wenig zu wirr. Du
> "vermischst" da zu
> viel, wenngleich sicher auch die ein oder andere richtige
> Überlegung dabei
> ist!
>
> > Bei der zweiten Richtung bin ich mir unsicher - hier ist
> > mein Weg:
> >
> > Voraussetzung: M [mm]\subseteq[/mm] N [mm]\subseteq[/mm] O
> >
> > zu zeigen: M [mm]\cup[/mm] N = M [mm]\cap[/mm] O
> >
> > Seien M, N und O drei nicht leere Mengen
>
> Wo steht, dass Du das brauchst? Oben wird das nirgends
> vorausgesetzt,
> also mach' hier keine unnötigen Einschränkungen, es sei
> denn, Du
> begründest, warum die Behauptung ohne diese falsch wäre!
> Aber dann
> wäre prinzipiell schon die ganze Aufgabe falsch
> formuliert!
>
> > dann gibt es
> > [mm]\exists[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] (M [mm]\subseteq[/mm] N [mm]\subseteq[/mm] O)
> >
> > so das folgt das x [mm]\varepsilon[/mm] M ist und x [mm]\varepsilon[/mm] N
> > ist und x [mm]\varepsilon[/mm] O ist.
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] (N [mm]\cap[/mm] O) und x [mm]\varepsilon[/mm] (M
> > [mm]\cup[/mm] N)
> >
> > Ergo sind (N [mm]\cap[/mm] O) und (M [mm]\cup[/mm] N) identisch.
>
> ??
>
> > Der letzte Teil ist der wo ich mir unsicher bin. Wenn alle
> > drei Mengen Teilmengen voneinander sind, dann haben diese
> > auch zwingend die gleichen Elemente.
>
> So, wie Du das formulierst, meint man, Du meinst:
> [mm](A \subseteq B \text{ und }B \subseteq C \text{ und }B \subseteq A \text{ und }C \subseteq B) \Rightarrow A=B=C\,.[/mm]
>
> Das wäre richtig, aber das steht nirgends oben. (Übrigens
> gilt auch
> "kürzer" [mm](A \subseteq B \subseteq C \subseteq A) \Rightarrow A=B=C\,.[/mm])
>
> Und dass Deine letztstehende Aussage nichts mit der Aufgabe
> zu tun hat:
> [mm]\{1\} \subseteq \{1,2\} \subseteq \{1,2,3\}[/mm]
> sind (in
> dieser Reihenfolge!) Mengen [mm]M,N,O\,[/mm] passend zur Aufgabe,
> aber
> gar nicht passend zu Deiner letzten Aussage!
>
> > Und deswegen gehts ja
> > ganricht anders, als das Schnitt und Vereinigung gleich
> > sind. Die Frage ist also, ist meine Lösung formal gesehen
> > ausreichend?
>
> Nein. Du zeigst da eigentlich gar nichts bezüglich der
> Aufgabe!
>
> Also so ganz versteh' ich generell Deine Vorgehensweise
> schon nicht.
> Vielleicht "zerlegen" wir mal die Aufgabe:
>
> 1. Teil "[mm]\Rightarrow[/mm]"
> Voraussetzung: Es gelte [mm]M \cup N= N \cap O[/mm]
>
> Behauptung(en):
> a) Es gilt [mm]M \subseteq N\,.[/mm]
> und
> b) Es gilt [mm]N \subseteq O\,.[/mm]
>
> Zu a): Sei [mm]x \in M[/mm] irgendein beliebiges Element. Dann gilt
> [mm]x \in M[/mm] oder
> [mm]x \in N\,,[/mm] also folgt insbesondere [mm]x \in (M \cup N)\,.[/mm]
> (Kurz gesagt: Es ist [mm]M \subseteq (M \cup N)\,.[/mm])
> Nach
> Voraussetzung ist aber ..., und damit folgt [mm]x \in ...\,,[/mm] so
> dass wegen [mm](N \cap O) \subseteq N[/mm] auch folgt [mm]x \in ...\,.[/mm]
>
Hallo, ich habe den Thread etwas aus den Augen verloren, da ich zeitgleich einen Thread offen hatte. Die Diskussion zwischen dir (Marcel) und Fred brachte mich etwas in grübeln.
zu a) sei also x [mm] \varepsilon [/mm] M. Dann folgt wegen der Vorraussetzung das x [mm] \varepsilon [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N) ist. Es ist also M [mm] \subseteq [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N).
Nach der Vorraussetzung sind (M [mm] \cup [/mm] N) und (N [mm] \cap [/mm] O) gleich.
Deswegen ist x auch x [mm] \varepsilon [/mm] (N [mm] \cap [/mm] O). Und deswegen weiß ich das x auch x [mm] \varepsilon [/mm] N ist und auch in O ist.
Folgenden Satz habe ich jetzt glaube ich nicht ganz verstanden:
"Nach Voraussetzung ist aber ..., und damit folgt x [mm] \in ...\,, [/mm] so dass wegen (N [mm] \cap [/mm] O) [mm] \subseteq [/mm] N auch folgt x [mm] \in ...\,."
[/mm]
Oder ist die Quintessenz: Immer dann wenn x gleich M ist, dann ist auch x Element von N. Genau das ist ja die Definition der Teilmenge. Die Frage ist woher weiß ich denn ganz genau, das x [mm] \varepsilon [/mm] M ist. Oder reicht es, dass ich oben gesagt habe "x sei [mm] \varepsilon [/mm] M"?
Vielen dank für die großartige Hilfe!
> Da [mm]x \in M[/mm] beliebig war, gilt für alle [mm]x \in M[/mm] auch [mm]x \in N[/mm]
> und damit ...?
>
> Zu b): Sei [mm]x \in N[/mm] irgendein Element. Dann ist [mm]x \in (N \cup M)=...\,,[/mm]
> also folgt aus der Voraussetzung [mm]... \in (N \cap O),\,[/mm] und
> wegen
> [mm](N \cap O) \subseteq O[/mm] folgt ... ?
> Da [mm]x \in N[/mm] beliebig war, gilt für alle [mm]x \in N[/mm] auch [mm]x \in O[/mm]
> und damit ...?
>
> Jetzt der andere Beweisteil "[mm]\Leftarrow[/mm]":
> Hier wird nun vorausgesetzt: Es gelte [mm]M \subseteq N \subseteq O\,.[/mm]
>
> Zu zeigen sind nun zwei Dinge:
> c) Es gilt [mm](M \cup N) \subseteq (N \cap O)[/mm]
> und
> d) Es gilt [mm](N \cap O) \subseteq (M \cup N)\,.[/mm]
>
> Ich zeige Dir nun c), d) versuchst Du dann alleine zu
> lösen:
> Zu c):
> Sei [mm]x \in M \cup N\,.[/mm] Dann gibt es zwei (sich nicht(!)
> ausschließende)
> Fälle:
> Es gilt [mm]x \in M[/mm] oder es gilt [mm]x \in N\,.[/mm] Ist [mm]x \in N\,,[/mm] so
> folgt wegen
> [mm]N \subseteq O[/mm] auch [mm]x \in O\,,[/mm] also ist dann sowohl [mm]x \in N[/mm]
> als auch
> [mm]x \in O[/mm] und damit [mm]x \in (N \cap O)\,.[/mm]
> Ist aber [mm]x \in M\,,[/mm]
> so folgt wiederum wegen [mm]M \subseteq N[/mm] sodann
> [mm]x \in N[/mm] und wir sehen [mm]x \in (N \cap O)[/mm] genau wie oben
> ein!
>
> Zu d):
> Sei [mm]x \in N \cap O\,.[/mm] Dann gilt sowohl [mm]x \in N[/mm] als auch [mm]x \in O\,.[/mm]
> Warum ist dann nun [mm]x \in M \cup N[/mm]?
>
> P.S.
> Fülle insbesondere auch die Lücken aus. Wenn Du sie so
> ausfüllst, wie ich
> es mir gedacht habe, passt das alles. Wenn Du da die ein
> oder andere ein
> wenig "zu schnell" ausfüllst, wird die Folgelücke
> inklusive des Folgetextes
> vielleicht ein wenig "überflüssig".
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> zu a) sei also x [mm]\varepsilon[/mm] M. Dann folgt wegen der
> Vorraussetzung das x [mm]\varepsilon[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N) ist.
es gilt IMMER $M [mm] \subseteq [/mm] (M [mm] \cup N)\,.$ [/mm] Denn wenn $x [mm] \in [/mm] M$ gilt,
dann gilt auch immer, dass $x [mm] \in [/mm] M$ oder $x [mm] \in [/mm] N$ ist.
(Wie gesagt: Das mathematische oder ist KEIN ausschließendes oder,
es ist ein "und-oder"!)
Da brauchst Du keine Voraussetzung anzuwenden. Das habe ich doch
schon deutlich geschrieben (dachte ich jedenfalls)!
> Es ist
> also M [mm]\subseteq[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N).
> Nach der Vorraussetzung sind (M [mm]\cup[/mm] N) und (N [mm]\cap[/mm] O)
> gleich.
> Deswegen ist x auch x [mm]\varepsilon[/mm] (N [mm]\cap[/mm] O). Und deswegen
> weiß ich das x auch x [mm]\varepsilon[/mm] N ist und auch in O
> ist.
Ja, ich mach's mal kurz:
Für alle $x [mm] \in [/mm] M$ gilt:
$$x [mm] \in [/mm] M$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] M [mm] \text{ oder }x \in [/mm] N)$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N)$$
(bis hierhin zeigt das, kurzgesagt, dass stets $M [mm] \subseteq [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N)$ gilt!)
[mm] $$\stackrel{\text{wegen der Vorr. }(M \cup N)=(\red{\,N\,} \cap O)}{\Rightarrow}\;\;\; [/mm] x [mm] \in (\red{N} \cap [/mm] O)$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] N [mm] \text{ und }x \in [/mm] O)$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] x [mm] \in N\,,$$
[/mm]
(Die letzte Folgerung kann man auch direkt einsehen, wenn man sich
$(N [mm] \cap [/mm] O) [mm] \subseteq [/mm] N$ klarmacht: Aussagenlogisch steht da auch nur:
Wenn zwei Aussagen zusammen wahr sind, dann ist auch (jede) eine alleine wahr! Wenn es regnet und die Straße nass ist, dann regnet es - bzw.: Wenn es regnet und die Straße nass ist, dann ist die Straße nass!)
Übrigens hast Du in der Ursprungsaufgabe einen Vertipper: Da steht
$$M [mm] \cup N=\red{M} \cap [/mm] O [mm] \gdw [/mm] ...,$$
das rote [mm] $M\,$ [/mm] soll aber ein [mm] $N\,$ [/mm] sein - so hast Du das auch irgendwann
richtig benutzt!
> Folgenden Satz habe ich jetzt glaube ich nicht ganz
> verstanden:
> "Nach Voraussetzung ist aber ..., und damit folgt x [mm]\in ...\,,[/mm]
> so dass wegen (N [mm]\cap[/mm] O) [mm]\subseteq[/mm] N auch folgt x [mm]\in ...\,."[/mm]
>
> Oder ist die Quintessenz: Immer dann wenn x gleich M ist,
??? [mm] $x\,$ [/mm] ist ein Element aus [mm] $M\,,$ [/mm] nicht die ganze Menge! Wir
"spezifizieren" es auch nicht: Es liegt weder in der Mitte noch am Rand
(was immer das auch heißen sollte, bei irgendeiner Menge [mm] $M\,$), [/mm] es ist
kein ausgezeichnetes, besonderes Element aus [mm] $M\,.$ [/mm] Wir wissen nur:
Dieses [mm] $x\,$ [/mm] haben wir aus der Menge [mm] $M\,$ [/mm] genommen. D.h. andere
Eigenschaften wie jene, die [mm] $M\,$ [/mm] charakterisieren, wird [mm] $x\,$ [/mm] nicht haben.
Eben deswegen können wir am Ende ja sagen "Da $x [mm] \in [/mm] M$ beliebig
war, folgt nun für alle $x [mm] \in [/mm] M$..."
Wenn's total unklar ist: Dann stell' Dir halt doch vor, Du würdest EINES
rausgreifen, was Du nun kennst. Du benutzt nur die Eigenschaften, die
das [mm] $x\,$ [/mm] genau deswegen hat, weil es [mm] $\in [/mm] M$ war. Dann schließt Du
alleine mit diesen Eigenschaften (und entsprechenden weiteren
Voraussetzungen), dass dieses $x [mm] \in [/mm] N$ liegen muss. Nimmst Du nun
irgendein anderes $x' [mm] \in [/mm] M$ her: Nur mit den Eigenschaften, die dieses
$x'$ genau deswegen hat, weil es in [mm] $M\,$ [/mm] lag und den gegebenen
Voraussetzungen ergibt sich dann wie bei dem [mm] $x\,,$ [/mm] dass auch das $x' [mm] \in [/mm] N$ liegen muss. So kannst Du also alle Elemente aus [mm] $M\,$ [/mm] durchlaufen,
also gilt für alle $x [mm] \in [/mm] M$ auch $x [mm] \in N\,,$ [/mm] also $M [mm] \subseteq N\,.$ [/mm] Mach'
Dir das klar: Viele Standardbeweise der Mathematik laufen ganz analog
nach diesem Schema ab!
(Bei Konvergenz starten viele etwa mit: Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig,
aber fest. Dann ... und am Ende steht da: Da [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig
war, gilt für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] dass ...)
> dann ist auch x Element von N. Genau das ist ja die
> Definition der Teilmenge. Die Frage ist woher weiß ich
> denn ganz genau, das x [mm]\varepsilon[/mm] M ist.
Weil Du mit "irgendeinem" $x [mm] \in [/mm] M$ gestartet warst: Du wolltest doch
$M [mm] \subseteq N\,$ [/mm] erstmal zeigen. Wie macht man das: Indem man zeigt,
dass, wenn man "irgendein" $x [mm] \in [/mm] M$ hernimmt, zeigt, dass das dann
auch schon in [mm] $N\,$ [/mm] liegen muss.
> Oder reicht es,
> dass ich oben gesagt habe "x sei [mm]\varepsilon[/mm] M"?
Mach' Dir das mal klar, was ich vorher gesagt habe, dann ja. Übrigens wird
das [mm] $\in$-Zeichen [/mm] so geschrieben [mm] [nomm]$\in$[/nomm]!
[/mm]
Und nochmal zurück:
Schau nach, wo dieser Satz, den Du zitiert hattest, steht, ich ergänze Dir
mal das, was ich da eingefügt hätte (das hier ist übrigens ein Beispiel,
warum es oft besser ist, zuviel zu zitieren anstatt zu wenig!)
> Folgenden Satz habe ich jetzt glaube ich nicht ganz
> verstanden:
> "Nach Voraussetzung ist aber ..., und damit folgt x [mm]\in ...\,,[/mm]
> so dass wegen (N [mm]\cap[/mm] O) [mm]\subseteq[/mm] N auch folgt x [mm]\in ...\,."[/mm]
Ausführlich:
Zu a): Sei $x [mm] \in [/mm] M $ irgendein beliebiges Element. Dann gilt (auch) $x [mm] \in [/mm] M$ oder $x [mm] \in N\,, [/mm] $ also folgt insbesondere $x [mm] \in [/mm] (M [mm] \cup N)\,. [/mm] $ (Kurz gesagt: Es ist $ M [mm] \subseteq [/mm] (M [mm] \cup N)\,. [/mm] $)
Nach Voraussetzung ist aber $M [mm] \cup [/mm] N=N [mm] \cap O\,,$ [/mm] und damit folgt $x [mm] \in [/mm] N [mm] \cap O\,,$ [/mm] so dass wegen $(N [mm] \cap [/mm] O) [mm] \subseteq [/mm] N$ auch folgt $x [mm] \in N\,.$
[/mm]
Da $ x [mm] \in [/mm] M $ beliebig war, gilt für alle $ x [mm] \in [/mm] M $ auch $ x [mm] \in [/mm] N $ und damit ergibt sich $M [mm] \subseteq [/mm] N$!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Bingo! Dankeschön! Danke für alles - ich habe es jetzt wirklich alles verstanden! Vielen vieln Dank vor allem um diese Uhrzeit noch!
VG!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Marcel |
P.S.
Mal nebenbei: Die Aufgabe ist eher eine Äquivalenzaufgabe bzgl. Mengen,
denn ein Beweis einer Mengengleichung. Die Mengengleichheit ist ja "nur" ein
Teil der einen Folgerungsrichtung!
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