Beweis einer Gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Habe folgende Aufgabe zu lösen und mir fehlt irgendwie die Idee, wie ich die Gruppe/bzw. die einzelenen Voraussetzungen beweise:
Für [mm] u=(u_{1},u_{2}) \in \IR^{2} [/mm] und [mm] u_{1}u_{2}\not=0 [/mm] und [mm] a=(a_{1},a_{2})\in\IR^2 [/mm] sei:
[mm] f_{u,a}:\IR^2\to\IR^2
[/mm]
[mm] (x,y)\mapsto(u_{1}x+a_{1},u_{2}x+a_{2}).
[/mm]
Zeige: [mm] G:=\{f_{u,a}|a,u\in\IR^2 , u_{1}u_{2}\not=0\} [/mm] ist mit der Komposition von Abb. als Verkn. eine Gruppe.
?!?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo misterbecks!
Zunächst zeigen wir, dass alle $f_{u,a}$ bijektiv sind, indem wir $(f_{u,a})^{-1}$ angeben.
Ist $f_{u,a} \in G$ beliebig gewählt, dann betrachten wir
$f_{v,b}$
mit
$v=(v_1,v_2) := \left(\frac{1}{u_1}, \frac{1}{u_2} \right)$
und
$b = (b_1,b_2) := \left (-\frac{a_1}{u_1}, -\frac{a_2}{u_2}\right)$.
Wegen $u_1 \ne 0 \ne u_2$ ist $f_{v,b}$ wohldefiniert und ein Element von $G$.
Weise nun bitte selbstständig nach, dass
$f_{u,a} \circ f_{v,c} = id_{\IR^2} = f_{v,c} \circ f_{u,a}$
und daher:
$f_{v,c} = (f_{u,a})^{-1}$
gilt.
Somit ist $G$ eine nichtleere Teilmenge der Gruppe aller bijektiven Abbildungen des $\IR^2$ in sich bezüglich der Komposition, die weiterhin mit jedem Element auch ihr Inverses enthält.
Es genügt anschließend die Abgeschlossenheit unter der Komposition zu zeigen, dann bist du fertig. Zeige also anschließend noch:
$f_{u,a} \in G,\, f_{v,b} \in G \quad \Rightarrow \quad f_{v,b} \circ f_{u,a} \in G$.
Liebe Grüße
Stefan
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Erstmal vielen Dank für deine Antwort.
Leider komme ich mit deiner Antwort aber deshalb nicht zurecht, weil ich die eigentliche Aufgabe nicht ganz verstehe. Also ich weiß nicht, wieso ich welchen Schritt machen soll?
Was (in Worten) soll denn genau bewiesen werden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Di 02.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Du sollst zeigen, dass $G$, mit der Komposition als Verknüpfung, eine Gruppe ist. Da die Menge der bijektiven Abbildungen des [mm] $\IR^2$ [/mm] in sich, mit der Komposition als Verknüpfung, aber (offenbar, vielleicht habt ihr das in der Vorlesung aber auch erwähnt/gezeigt) eine Gruppe ist, genügt es zu zeigen, dass $G$ eine Untergruppe davon ist. Zunächst muss man sich aber klar machen, dass überhaupt $G$ eine Teilmenge dieser Gruppe ist, dass also tatsächlich jedes Element aus $G$ eine bijektive Abbildung des [mm] $\IR^2$ [/mm] in sich ist.
Hat man das getan, muss man für $G$ nur noch die Untergruppen-Kriterien nachweisen.
Liebe Grüße
Stefan
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