Beweis einer Gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei (R, +, ·) ein Ring mit Eins.
Sei U(R)={r∈R|r besitzt ein Inverses bzgl.· inR}={r∈R|∃s∈R:rs=sr=1}.
Zeigen Sie, dass (U (R), ·) eine Gruppe ist. Diese Gruppe nennt man Einheitengruppe von R. |
Nun habe ich mir nochmal die Voraussetzungen einer Gruppe rausgeschrieben:
1. . ist assoziativ
2. es existiert ein neutrales Element
3. es existiert ein inverses Element
Muss ich nun die Multiplikation explizit beweisen weil es ja eigentlich logisch ist und wenn ja wie mache ich das dann? oder reicht es zu sagen es ist unabhängig wo ich die Klammern setze beziehungsweise ob ich welche verwende?
zu2. habe ich mal aufgeschrieben das [mm] (s*r)^{-1} [/mm] = e ist und das halt dann durch Umformungen gezeigt ist das soweit richtig?
zu3. habe ich gezeigt das s=s´ist auch durch Umformungen ist das korrekt?
dann sollte ich noch die Wohldefiniertheit der Verknüpfung zeigen da hab ich dann gar keinen Ansatz mehr leider.
Könnte mir jemand helfen bitte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 So 16.11.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ich schätze mit dem Untergruppenkriterium darfst du nicht arbeiten?
Definition eine Gruppe:
Es sei [mm] G\not= \emptyset [/mm] eine Menge und [mm] \* [/mm] eine binäre Operation auf G(d.h. eine Abbildung G [mm] \times [/mm] G ->G).
Gelten die folgenden drei Eigenschaften:
1) (a*b)*c=a*(b*c) [mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in [/mm] G
2) [mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] G [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G: a*e=e*a=a
3) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G: [mm] \exists a^{-1} \in [/mm] G: a [mm] a^{-1} [/mm] = [mm] a^{-1} [/mm] a =e
-)
Also nach Definition müssen wir zuerst überprüfen ob U(R) [mm] \not= \emptyset.
[/mm]
U(R)={r∈R|∃s∈R:rs=sr=1}
1 [mm] \in [/mm] U(R)
Frage:Warum ist 1 überhaupt [mm] \in [/mm] R?
-)
Dann das es sich um eine binäre Operation handelt, d.h. wenn [mm] a\in [/mm] U(R) und b [mm] \in [/mm] U(R) ist, dass dann auch die Verknüpfung a*b [mm] \in [/mm] U(R) ist.
Ich rechne dir das mal vor:
a [mm] \in [/mm] U(R), d.h. [mm] \exists s\inR: [/mm] as=sa=1
b [mm] \in [/mm] U(R), d.h. [mm] \exists t\inR: [/mm] bt=tb=1
ZuZeigen: [mm] ab\in [/mm] U(R), d.h. [mm] \exists [/mm] k [mm] \in [/mm] R: k(ab)=(ab)k=1
[mm] (ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=aa^{-1}=e
[/mm]
[mm] (b^{-1} a^{-1})(ab)=b^{-1}(a^{-1} a)b=b^{-1}b=e
[/mm]
Frage: Warum darf ich hier die Assoziativität benutzen?
Also wähle ich [mm] k:=b^{-1}a^{-1} \in [/mm] R
Frage:Warum ist k [mm] \in [/mm] R?
-) Assoziativgesetz
Du hast schon irgendweo recht mit es ist ja logisch, dass es gilt. Aber das musst du begründen.
Das Assoziativgesetz gilt bezüglich der Multiplikation im ganzen Ring R. Da du dir mit U(R) bestimmte Elemente des Rings auswählst, die eine bestimmte Aussage erfüllen, gilt für die auch das Assoziativgesetz.
-) Neutrale Element
> $ [mm] (s\cdot{}r)^{-1} [/mm] $ = e
? Was magst du damit sagen?
Schau dir mal das neutrale Element bezüglich der Multiplikation im Ring an. Ist es auch in U(R)?
-) Inverse Element
> habe ich gezeigt das s=s´ist auch durch Umformungen ist das korrekt?
??
Du fangst so an:
Sei a [mm] \in [/mm] U(R), d.h. [mm] \exists [/mm] s [mm] \in [/mm] R: as=sa=1
ZuZeigen: [mm] a^{-1} \in [/mm] U(R), d.h. [mm] \exists [/mm] t [mm] \in R:a^{-1}t=ta^{-1}=1
[/mm]
Siehst du was t ist?
LG,
sissi
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Vielen Dank für deine Hilfe :)
ich konnte diese Aufgabe mit den gegebenen Tipps lösen.
Liebe Grüße
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