Beweis durch vollst. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Di 01.11.2005 | | Autor: | Neco1982 |
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Hallo,
folgende Aufgabe versuche ich zu lösen: Für x, y Element K (Körper) und n Element [mm] \IN [/mm] gilt:
[mm] (x+y)^n= \summe_{k=o}^{n} \vektor{n \\ k} x^k [/mm] y^(n-k)
Induktionsanfang: kein Problem 1=1
Induktionsschritt:
[mm] (x+y)^{n+1}=(x+y)^n [/mm] (x+y)=(nach IV) [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} x^k [/mm] y^(n-k) (x+y)
ausmultipliziert in:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} x^k [/mm] y^(n-k) x + [mm] x^k [/mm] y^(n-k) y = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] x^(k+1) y^(n-k) + [mm] x^k [/mm] y^(n-k+1)
man könnte nach Summanden trennen um schließlich den Hilfssatz
[mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
Bei dem ersten Summanden habe ich eine Indexverschiebung gemacht:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \vektor{n \\ k-1} x^k [/mm] y^(n-k-1) +...
...den zweiten Summanden ohne Indexverschiebung:
+ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} x^k [/mm] y^(n-k+1)
ich weiß nicht, wie ich diese Summanden zusammenfassen soll, weil der erste Summand bis n+1 läuft und bei k=1 startet und der zweite bei k=0 startet und bis n läuft.
Vielleicht habe ich bei der Indexverschiebung einen Fehler gemacht.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Vielen Dank schon mal.
Liebe Grüße,
Neco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Do 03.11.2005 | | Autor: | Neco1982 |
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Hallo Taura,
danke für den Tipp, aber ich komme leider nicht vorwärts. Ich weiß nämlich nicht, wie ich beide Summanden zusammenfassen soll, so dass oberhalb und unterhalb des Summenzeichens das Gleiche steht.
Ich hoffe, du kannst mir weiterhelfen.
Gruß,
Neco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Do 03.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Do 03.11.2005 | | Autor: | taura |
Hallo neco!
Alternativ zu der Lösung die Stefan verlinkt hat, kannst du auch einfach in deinen beiden Summen jeweils den 0. bzw. den n+1. Summanden einfach mit rein nehmen, denn per Definition wird in beiden Fällen der Binomialkoeffizient 0, also auch der Summand, also änderst du damit nichts an deiner Summe. Dann hast du also die gleichen Indize an beiden Summen und kannst sie zusammenfassen. Dann noch das [mm] $x^ky^{n+1-k}$ [/mm] in der Summe ausklammern, und die Regel anwenden, die du in deiner Frage schon erwähnt hast... Et voilà 
Gruß taura
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