Beweis durch induktion? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich hab ein problem, ich soll nämlich beweisen, dass gilt:
n² <= [mm] 2^n [/mm] für n>= 4
und [mm] 2^n [/mm] <= n! für n>= 4
Zum ersten hab ich mir überlegt es mit vollst. induktion zu machen, also:
n=4: 4² = 16 <= [mm] 2^4 [/mm] BEWIESEN
dann n-> n + 1
(n+1)² = n² + 2n + 1 = ????
Nun weiß ich leider nicht mehr weiter. Zum zweiten hab ich leider noch gar keine idee.
Ich würde mich sehr über Antworten freuen, dank schonmal!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Fr 21.10.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Zeige zunächst getrennt, dass für alle $n [mm] \ge [/mm] 4$ gilt:
[mm] $n^2 \ge [/mm] 2n+1$. (Ist simpel, das gilt sogar schon für $n [mm] \ge [/mm] 3$).
Nun kannst du für $n [mm] \ge [/mm] 4$ wie folgt weitermachen:
[mm] $2^{n+1} [/mm] = 2 [mm] \cdot 2^n \stackrel{(IV)}{\ge} 2n^2 [/mm] = [mm] n^2+n^2 \ge n^2 [/mm] + 2n+1 = [mm] (n+1)^2$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Fr 21.10.2005 | | Autor: | willymathe |
Hi,
Bin neu im Forum und muss sagen, mit so einer schnellen Antwort hätt ich jetzt nicht gerechnet - danke!!!
Könntest du mir auch evtl mit dem Fakultät weiterhelfen?
Also
[mm] 2^n [/mm] <= n!
Nochmals vielen vielen dank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Fr 21.10.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Willy!
Sicher, ich habe dir das vorgerechnet.
Der Sinn des Matheraums besteht aber eigentlich in der Hilfe zur Selbsthilfe. Daher meine Frage: Könntest du mal einen eigenen Ansatz posten?
Tipp:
$(n+1)! = n! [mm] \cdot [/mm] (n+1) [mm] \stackrel{(IV)}{\ge} 2^n \cdot [/mm] (n+1) [mm] \ge \ldots \ge 2^{n+1}$.
[/mm]
Was fehlt in der Lücke? Warum gilt das für $n [mm] \ge [/mm] 4$?
Liebe Grüße
Julius
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Hi,
sry hab ich nicht daran gedacht meinen Ansatz mit zu posten.
Ich dachte mir auch:
(n+1)! = n! ( n+1) >= [mm] 2^n*(n+1)=(2^n)*n+2^n [/mm] (*)
Jetzt hab ich mir gedacht, dass [mm] (2^n)*n [/mm] > [mm] 2^n [/mm] - da ja n>1
(*) > [mm] 2^n+2^n [/mm] = [mm] 2*2^n [/mm] = 2^(n+1)
=> (n+1)! > 2^(n+1)
nur hab ich jetzt nich '>=' sondern nur '>'
P.s. Sry nochmal dass ich meinen ansatz nicht gepostet habe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Sa 22.10.2005 | | Autor: | willymathe |
Ok, dann nochmals vielen dank!!!
Jetzt weiß ich, dass es stimmt.
Bis dann
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Richtig!
