Beweis durch Ringschluss < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
bezugnehmend auf diese Diskussion, hier nun die Fotzsetzung. Die Aufgabe lautet:
Es seien A, B Mengen und:
[mm] f\; :\; A\; -->\; [/mm] B
eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
a) f ist injektiv
b) Für alle C [mm] \subset [/mm] A gilt:
[mm] f^{-1}\left( f\left( \mbox{C} \right) \right)\; =\; \mbox{C}
[/mm]
c) Für alle C, D [mm] \subset [/mm] A mit C [mm] \cap [/mm] D = {} gilt [mm] f\left( \mbox{C} \right)\; \cap \; f\left( D \right)\; =\; \left\{ \right\}
[/mm]
d) Für alle C, D [mm] \subset [/mm] A gilt: [mm] f\left( \mbox{C \backslash D}) \right)\; =\; f\left( \mbox{C} \right)\; \backslash f\left( D \right)
[/mm]
Vorhaben: Mittels eines Ringschlusses die Aufgabe lösen.
a [mm] \Rightarrow [/mm] b wurde bereits in der oben verlinkten Diskussion gezeigt.
Nun möchte ich b [mm] \Rightarrow [/mm] c zeigen:
Hier muss ja u.a ähnlich wie in a [mm] \Rightarrow [/mm] b die Äquivalenz zweier Mengen gezeigt werden und gleichzeitig gezeigt werden, dass b die Aussage c impliziert.
Hier mein Versuch:
[mm] sei\; x\; \in \; f^{-1}\left( f\left( \mbox{C} \right) \right)\; \Rightarrow \; x\; \in \; \mbox{C}\; \Rightarrow \; x\; \notin \; D\; \Rightarrow \; es\; gibt\; kein\; y\; \in \; f\left( \mbox{C} \right)\; :\; y\; \in \; f\left( D \right)\; \Rightarrow \; f\left( \mbox{C} \right)\; \cap \; f\left( D \right)\; =\; \left\{ \right\}
[/mm]
Ich glaube, dass hier etwas fehlt. Normal zeigt man ja die Äquivalenz durch zeigen, dass die "linke" Menge Teilmenge der "rechten" ist und umgekehrt. Hier ist die "rechte" Menge die leere Menge. Kann man sich da dies nicht sparen und ist somit mein "Versuch" vollkommen okay?
Nun möchte ich c [mm] \Rightarrow [/mm] d zeigen:
[mm] sei\; f\left( \mbox{C} \right)\; \cap \; f\left( D \right)\; =\; \left\{ \right\}
[/mm]
Beweis:
1. Möglichkeit:
[mm] sei\; x\; \in \; \mbox{C}\; \Rightarrow \; x\; \notin \; D\; \Rightarrow \; \mbox{C}\; \backslash D\; =\; \mbox{C}\; \Rightarrow \; f\left( \mbox{C} \right)\; =\; f\left( \mbox{C}\; \backslash D \right)\; \Rightarrow \; f\left( \mbox{C} \right)\; \backslash f\left( D \right)\; \Rightarrow \; f\left( \mbox{C} \right)\; \backslash f\left( D \right)\; =\; \left\{ \right\}
[/mm]
2. Möglichkeit:
[mm] sei\; x\; \in \; D\; \Rightarrow \; x\; \notin \; \mbox{C}\; \Rightarrow \; \mbox{C}\; \backslash D\; =\; \mbox{C}\; \Rightarrow \; f\left( \mbox{C} \right)\; =\; f\left( \mbox{C}\; \backslash D \right)\; \Rightarrow \; f\left( \mbox{C} \right)\; \backslash f\left( D \right)\; \Rightarrow \; f\left( \mbox{C} \right)\; \backslash f\left( D \right)\; =\; \left\{ \right\}
[/mm]
Für den vollständigen Ringschluss fehlt noch d [mm] \Rightarrow [/mm] a. Dies möchte ich aber dann angehen sobald meine Ansätze okay sind.
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> Hallo,
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> bezugnehmend auf diese Diskussion,
> hier nun die Fotzsetzung. Die Aufgabe lautet:
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> Es seien A, B Mengen und:
>
> [mm]f\; :\; A\; -->\;[/mm] B
>
> eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender
> Aussagen:
>
> a) f ist injektiv
> b) Für alle C [mm]\subset[/mm] A gilt:
>
> [mm]f^{-1}\left( f\left( \mbox{C} \right) \right)\; =\; \mbox{C}[/mm]
>
> c) Für alle C, D [mm]\subset[/mm] A mit C [mm]\cap[/mm] D = {} gilt [mm]f\left( \mbox{C} \right)\; \cap \; f\left( D \right)\; =\; \left\{ \right\}[/mm]
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> d) Für alle C, D [mm]\subset[/mm] A gilt: [mm]f\left( \mbox{C \backslash D}) \right)\; =\; f\left( \mbox{C} \right)\; \backslash f\left( D \right)[/mm]
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> Vorhaben: Mittels eines Ringschlusses die Aufgabe lösen.
>
> a [mm]\Rightarrow[/mm] b wurde bereits in der oben verlinkten
> Diskussion gezeigt.
>
> Nun möchte ich b [mm]\Rightarrow[/mm] c zeigen:
>
> Hier muss ja u.a ähnlich wie in a [mm]\Rightarrow[/mm] b die
> Äquivalenz zweier Mengen gezeigt werden und gleichzeitig
> gezeigt werden, dass b die Aussage c impliziert.
>
> Hier mein Versuch:
>
> [mm]sei\; x\; \in \; f^{-1}\left( f\left( \mbox{C} \right) \right)\; \Rightarrow \; x\; \in \; \mbox{C}\; \Rightarrow \; x\; \notin \; D\; \Rightarrow \; es\; gibt\; kein\; y\; \in \; f\left( \mbox{C} \right)\; :\; y\; \in \; f\left( D \right)\; \Rightarrow \; f\left( \mbox{C} \right)\; \cap \; f\left( D \right)\; =\; \left\{ \right\}[/mm]
>
> Ich glaube, dass hier etwas fehlt. Normal zeigt man ja die
> Äquivalenz durch zeigen, dass die "linke" Menge Teilmenge
> der "rechten" ist und umgekehrt. Hier ist die "rechte"
> Menge die leere Menge. Kann man sich da dies nicht sparen
> und ist somit mein "Versuch" vollkommen okay?
Ich habe, offen gestanden, grosse Mühe zu sehen, was Deine Beweisidee dabei ist. Wäre es nicht von Vorteil, die Voraussetzungen, aufgrund deren Du auf [mm] $f(C)\cap f(D)=\{\}$ [/mm] schliessen willst, ausdrücklich zuallererst hinzuschreiben?
Etwa so: Sei [mm] $C,D\subseteq [/mm] A$ mit [mm] $C\cap D=\{\}$. [/mm] Zu zeigen ist, unter der Voraussetzung b), dass [mm] $f(C)\cap f(D)=\{\}$.
[/mm]
Wegen der "Durchschnittstreue" der inversen Relation [mm] $f^{-1}$ [/mm] folgt, zusammen mit der vorausgesetzten Gültigkeit von b): [mm] $f^{-1}(f(C)\cap f(D))=f^{-1}(f(C))\cap f^{-1}(f(D))\overset{\text{b)}}{=}C\cap D=\{\}$, [/mm] was nur möglich ist, wenn [mm] $f(C)\cap f(D))=\{\}$, [/mm] was zu zeigen war.
>
> Nun möchte ich c [mm]\Rightarrow[/mm] d zeigen:
>
> [mm]sei\; f\left( \mbox{C} \right)\; \cap \; f\left( D \right)\; =\; \left\{ \right\}[/mm]
Ich sehe nicht, weshalb Du dies bei einem Beweis von d) aus c) voraussetzen darfst. Im Gegenteil: beim Beweis von d) musst Du die Behauptung [mm] $f(C\backslash D)=f(C)\backslash [/mm] f(D)$ für alle Teilmengen $C,D$ der Grundmenge $A$ (Definitionsbereich von $f$) zeigen. - Nicht nur für diejenigen, speziellen, [mm] $C,D\subseteq [/mm] A$, für die [mm] $f(C)\cap f(D)=\{\}$ [/mm] gilt.
>
> Beweis:
>
> 1. Möglichkeit:
> [mm]sei\; x\; \in \; \mbox{C}\; \Rightarrow \; x\; \notin \; D\; \Rightarrow \; \mbox{C}\; \backslash D\; =\; \mbox{C}\; \Rightarrow \; f\left( \mbox{C} \right)\; =\; f\left( \mbox{C}\; \backslash D \right)\; \Rightarrow \; f\left( \mbox{C} \right)\; \backslash f\left( D \right)\; \Rightarrow \; f\left( \mbox{C} \right)\; \backslash f\left( D \right)\; =\; \left\{ \right\}[/mm]
>
> 2. Möglichkeit:
> [mm]sei\; x\; \in \; D\; \Rightarrow \; x\; \notin \; \mbox{C}\; \Rightarrow \; \mbox{C}\; \backslash D\; =\; \mbox{C}\; \Rightarrow \; f\left( \mbox{C} \right)\; =\; f\left( \mbox{C}\; \backslash D \right)\; \Rightarrow \; f\left( \mbox{C} \right)\; \backslash f\left( D \right)\; \Rightarrow \; f\left( \mbox{C} \right)\; \backslash f\left( D \right)\; =\; \left\{ \right\}[/mm]
Nachtrag (Revision 1): Den Beweis von d) aus c) würde ich an Deiner Stelle in getrennte Beweise der beiden Inklusionsrichtungen [mm] $\subseteq$ [/mm] und [mm] $\supseteq$ [/mm] der Behauptung d) aufteilen:
1. [mm] $f(C\backslash D)\subseteq f(C)\backslash [/mm] f(D)$: Sei also [mm] $f(x)\in f(C\backslash [/mm] D)$, d.h. [mm] $x\in C\backslash [/mm] D$ [mm] \ldots
[/mm]
Nachtrag 2. Revision: Oops, nein. Hier wäre vielleicht folgende Überlegung eleganter. Aus [mm] $(C\backslash D)\cap D=\{\}$ [/mm] folgt, wegen der Voraussetzung c), dass [mm] $f(C\backslash D)\cap f(D)=\{\}$. [/mm] Das heisst: [mm] $f(C\backslash D)\subseteq \overline{f(D)}$. [/mm] Zusammen mit der trivialen Beziehung [mm] $f(C\backslash D)\subseteq [/mm] f(C)$ folgt daher: [mm] $f(C\backslash D)\subseteq f(C)\cap \overline{f(D)} [/mm] = [mm] f(C)\backslash [/mm] f(D)$, also die behauptete Inklusion.
2. [mm] $f(C\backslash D)\supseteq f(C)\backslash [/mm] f(D)$: Sei also [mm] $x\in [/mm] C$ mit [mm] $f(x)\in f(C)\backslash [/mm] f(D)$, d.h. [mm] $f(x)\in [/mm] f(C)$, aber [mm] $f(x)\notin f(D)$\ldots
[/mm]
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> Für den vollständigen Ringschluss fehlt noch d [mm]\Rightarrow[/mm]
> a. Dies möchte ich aber dann angehen sobald meine Ansätze
> okay sind.
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