Beweis durch Induktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:05 Mi 26.01.2005 | | Autor: | SusPie6 |
Die Aufgabe war Mal zu Beginn des Semesters auf, also wirklich (besser: eigentlich) leichter Stoff.
Aufgabe: Beweisen Sie, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n} k^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1).
[/mm]
Induktionsanfang und -voraussetzung sind klar. Mein Problem liegt beim Induktionsschritt.
Wir nehmen an, dass die Aussage für n gilt und beweisen diese für n+1.
Da erhalten wir:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)
[/mm]
= [mm] 1+4+9+16+...+n^{2}+(n+1)^{2} [/mm]
[mm] \underbrace{1+4+9+16+...+n^{2}}_{=Induktionsvoraussetzung}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{6} n(n+1)(2n+1)+(n+1)^{2}
[/mm]
Soweit bin ich nun, aber irgendwie kommt durch Umformen nicht das raus, was eigentlich rauskommen sollte. Wo liegt denn mein Denkfehler???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:26 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen SusPie6!
> [mm]\summe_{k=1}^{n} k^{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1).
[/mm]
>
> Induktionsanfang und -voraussetzung sind klar. Mein Problem
> liegt beim Induktionsschritt.
>
> Wir nehmen an, dass die Aussage für n gilt und beweisen
> diese für n+1.
Zu zeigen:
[mm]\summe_{k=1}^{n+1} k^{2} = \bruch{1}{6}*(n+1)*[(n+1)+1]*[2(n+1)+1] = \bruch{1}{6}*(n+1)*(n+2)*(2n+3)[/mm] [mm] $(\star)$
[/mm]
Induktionsschritt:
[mm]\summe_{k=1}^{n+1} k^{2} \ = \ \blue{\summe_{k=1}^{n} k^{2}} + \red{(n+1)^2} \ \underbrace{=}_{I.V.} \ \blue{\bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2n+1)} \ + \ \red{(n+1)^2} \ = \ ...[/mm]
Diesen Ausdruck mußt Du nun auf den gewünschten Ausdruck [mm] $(\star)$ [/mm] umformen ...
Kommst Du nun alleine weiter??
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Mi 26.01.2005 | | Autor: | SusPie6 |
Naja, so weit war ich doch aber schon. Den Ansatz habe ich doch so wie du hingeschrieben, doch leider komme ich auch durch Umformungen nicht auf das Ergebnis. Und da ist ja mein Problem. Ich dachte, ich hätte schon eher was falsch gemacht. Scheinbar nicht, aber dann versteh ich nicht, wieso ich nicht auf diese Lösung komme?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:17 Do 27.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen SusPie6,
na dann werden wir mal die weiteren Schritte vornehmen ...
Zu zeigen war / ist:
[mm]\summe_{k=1}^{n+1} k^{2} = \bruch{1}{6}*(n+1)*[(n+1)+1]*[2(n+1)+1] = \bruch{1}{6}*(n+1)*(n+2)*(2n+3)[/mm]
Wir waren stehen geblieben bei:
[mm] $\bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2n+1) [/mm] \ + \ [mm] (n+1)^2$
[/mm]
Zunächst werde ich hier den Term $(n+1)$ ausklammern, da wir diesen auch in unserem gewünschten Ergebnis als Faktor haben:
$(n+1) * [mm] \left[ \bruch{1}{6}*n*(2n+1) \ + \ (n+1) \right]$
[/mm]
Ausdruck innerhalb der eckigen Klammern ausmultiplizieren:
$(n+1) * [mm] \left( \bruch{1}{6}*2n^2 + \bruch{1}{6}*n + n + 1 \right)$
[/mm]
In der Klammer zusammenfassen und dann ausklammern von [mm] $\bruch{1}{6}$:
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{6} [/mm] * (n+1) * [mm] (2n^2 [/mm] + 7n + 6)$
Nun betrachte ich mir den Ausdruck in der Klammer.
Ich benötige ja noch die Faktoren $(n+2)$ und $(2n+3)$ in meinem gewünschten Ergebnis.
Dazu kann ich entweder das Produkt $(n+2)*(2n+3)$ ausmultiplizieren:
$(n+2)*(2n+3) \ = \ [mm] 2n^2 [/mm] + 3n + 4n + 6 \ = \ [mm] 2n^2 [/mm] + 7n + 6$ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Alternativ kann ich mit dem Ausdruck [mm] $(2n^2 [/mm] + 7n + 6)$ eine Polynomdivision durchführen durch $(n+2)$ und erhalte auch dann:
[mm] $(2n^2 [/mm] + 7n + 6) \ = \ (n+2)*(2n+3)$
Es gilt also als gesamtes:
[mm] $\bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2n+1) [/mm] + [mm] (n+1)^2 [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{1}{6}*(n+1)*(n+2)*(2n+3)$
[/mm]
Damit ist auch unser Induktionsschritt nachgewiesen ...
Der "Trick" bei der Geschichte ist, daß man schon hinschaut, welche Faktoren ich im Ergebnis erhalten möchte und daher versuche, genau diese als Faktoren 'rauszuziehen.
Ein etwas weniger eleganter (aber natürlich vollig zulässiger) Weg wäre, unser gewünschtes Ergebnis (die Induktionsbehauptung) völlig auszumultiplizieren und das auch im Induktionsschritt.
Damit läßt sich dann die Gleichheit ebenfalls zeigen ...
Nun alles klar(er) ??
Loddar
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