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| Aufgabe | Es seien [mm]f,g : [a,b] \to \IR[/mm] stetig und auf [mm](a,b)[/mm] differenzierbar. Weiterhin sei [mm]f(a) \le g(a)[/mm] und [mm]f'(x) < g'(x)[/mm] für alle [mm]x \in (a,b)[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm]f(x) < g(x)[/mm] für alle [mm]x \in (a,b][/mm] gilt. Folgern Sie, dass [mm]tan(x) > x[/mm] für alle [mm]x \in (0,\pi/2)[/mm].
Hinweis: Mittelwertsatz |
Hallo ihr lieben Helfer,
ich hab zu dieser Aufgabe einen Beweis. Allerdings macht mich stutzig, dass dieser nicht den Mittelwertsatz benutzt und ich auch nicht wüsste, wie mir der Mittelwertsatz hier helfen könnte.
Meine Idee ist folgende:
Betrachte die Differenzfunktion [mm]h : [a,b] \to \IR[/mm] mit [mm]h(x) := g(x) - f(x)[/mm].
Nach Voraussetzung wissen wir [mm]h(a) = g(a) - f(a) \ge 0[/mm].
Nun gilt für die Ableitung: [mm]h'(x) = g'(x) - f'(x) > 0[/mm] für alle [mm]x \in (a,b)[/mm] und somit h streng monoton wachsend.
Daraus folgt aber für alle [mm]x \in (a,b]: h(x) > h(a) \ge 0[/mm] und also [mm]h(x) = g(x) - f(x) > 0[/mm], sprich: [mm]g(x) > f(x)[/mm] für alle [mm]x \in (a,b][/mm].
Habe ich irgendetwas übersehen oder nur eine andere Variante des Beweises gefunden als vom Aufgabenersteller beabsichtigt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Sa 04.07.2009 | | Autor: | SEcki |
> ich hab zu dieser Aufgabe einen Beweis. Allerdings macht
> mich stutzig, dass dieser nicht den Mittelwertsatz benutzt
> und ich auch nicht wüsste, wie mir der Mittelwertsatz hier
> helfen könnte.
Ist ja nur ein Hinweis - mir fällt noch spontan ein weiterer Beweis ohne MWS sein.
> Nun gilt für die Ableitung: [mm]h'(x) = g'(x) - f'(x) > 0[/mm] für
> alle [mm]x \in (a,b)[/mm] und somit h streng monoton wachsend.
Habt ihr das schon bewiesen? Also den letzten Teil - im Beweis hiervon verwendet man normalerweise den MWS, da geht er dann quasi rein. Eine Sache noch: du musst natürlich die Monotonie noch auf die Randpuntke fortsetzen, aber das sollte wg. Stetigkeit kein Problem sein.
> Habe ich irgendetwas übersehen oder nur eine andere
> Variante des Beweises gefunden als vom Aufgabenersteller
> beabsichtigt?
Nichts übersehn, nur eine Variante gefunden.
SEcki
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