Beweis des Satzes von Schwarz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 So 24.04.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Beweisen Sie den Satz von Schwarz für die gemischte 2. Ableitung einer 2 mal differenzierbaren Funktion in 2 Unbekannten, also dass gilt:
[mm] f_{xy}(x_0,y_0) = f_{yx}(x_0,y_0) [/mm] |
Bei dieser Aufgabe bin ich erstmal selber auf einen Beweis gekommen. Dann habe ich aber nochmal gegooglet und einen anderen Beweis gefunden, der irgendwie mit dem Mittelwertsatz gemacht wird, welchen ich aber nicht ganz verstanden habe. Ich wollte mal fragen, ob mein Ansatz auch funktioniert:
[mm] \bruch{\partial}{\partial y}\left(\bruch{\partial f}{\partial x}\right) = \bruch{\partial}{\partial y}\left(\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}\right) = \limes_{h\rightarrow0}\left(\bruch{1}{h}\left(\limes_{g\rightarrow0}\bruch{f(x+h,y+g)-f(x+h,y)}{g}-\limes_{g\rightarrow0}\bruch{f(x,y+h)-f(x,y)}{g}\right)\right) = \limes_{h\rightarrow0}\left(\limes_{g\rightarrow0}\left(\bruch{f(x+h,y+g)-f(x+h,y)-f(x,y+g)+f(x,y)}{hg}\right)\right) [/mm]
Wenn man dies dann umgekehrt macht, also erst den Differenzialquotienten nach y bildet und dann nach x kommt man auf das gleiche Ergebnis.
Ich bin mir aber nicht ganz sicher, ob man das so machen darf?
Danke und Gruß
B
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:58 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Wenn man dies dann umgekehrt macht, also erst den Differenzialquotienten nach y bildet und dann nach x kommt man auf das gleiche Ergebnis.
Nicht ganz. Da ist die Reihenfolge der beiden Grenzwerte vertauscht. Und daß diese Reihenfolge keine Rolle spielt, ist der Knackpunkt des Beweises. Das müßtest Du begründen. (Und daß man die beiden [mm] $\lim_{g\to 0}$ [/mm] rausziehen darf).
Oder wir gehen mal den anderen Beweis durch und schauen, wo Du Probleme hast. =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:49 Mo 25.04.2011 | | Autor: | BarneyS |
Danke für die Antwort! :)
Dass man die beiden $ [mm] \limes_{g\rightarrow 0} [/mm] $ rausziehen darf, gehört doch zu den elementaren Rechenregeln mit Grenzwerten...
Das Vertauschen habe ich bei den Rechenregeln aber in der Tat nicht gefunden. Ich habe aber eine Idee:
Zu zeigen ist:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow0}\left(\limes_{g\rightarrow0}\left(\bruch{f(x+h,y+g)-f(x+h,y)-f(x,y+g)+f(x,y)}{hg}\right)\right) [/mm] = [mm] \limes_{g\rightarrow0}\left(\limes_{h\rightarrow0}\left(\bruch{f(x+h,y+g)-f(x+h,y)-f(x,y+g)+f(x,y)}{hg}\right)\right) [/mm] $
Umformen der linken Seite:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow0}\left(\limes_{g\rightarrow0}\left(\bruch{f(x+h,y+g)-f(x+h,y)-f(x,y+g)+f(x,y)}{hg}\right)\right) [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow0}\left(\bruch{f(x+h,y+\limes_{g\rightarrow0}g)-f(x+h,y)-f(x,y+\limes_{g\rightarrow0}g)+f(x,y)}{h\limes_{g\rightarrow0}g}\right) [/mm] = [mm] \bruch{f(x+\limes_{h\rightarrow0}h,y+\limes_{g\rightarrow0}g)-f(x+\limes_{h\rightarrow0}h,y)-f(x,y+\limes_{g\rightarrow0}g)+f(x,y)}{\limes_{h\rightarrow0}h\limes_{g\rightarrow0}g} [/mm] $
Wenn man die rechte Seit nun analog umformt, kommt man auf das gleiche Ergebnis. Dass man den Grenzwert in die Funktion reinziehen darf, ist doch eigentlich klar, oder? Und so muss man dann nicht mehr vertauschen.
Wäre dies akzeptabel??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Dass man die beiden $ [mm] \limes_{g\rightarrow 0} [/mm] $ rausziehen darf, gehört doch zu den elementaren Rechenregeln mit Grenzwerten...
Nur unter gewissen Voraussetzungen, deren Vorhandensein Du feststellen solltest. Keine Bange, darfst Du tun, Du solltest es nur sauber machen. =)
Denn ganz so einfach ist das Rausziehen (und damit auch das Reinziehen) nicht:
> $ [mm] \limes_{h\rightarrow0}\left(\limes_{g\rightarrow0}\left(\bruch{f(x+h,y+g)-f(x+h,y)-f(x,y+g)+f(x,y)}{hg}\right)\right) [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow0}\left(\bruch{f(x+h,y+\limes_{g\rightarrow0}g)-f(x+h,y)-f(x,y+\limes_{g\rightarrow0}g)+f(x,y)}{h\limes_{g\rightarrow0}g}\right) [/mm] = [mm] \bruch{f(x+\limes_{h\rightarrow0}h,y+\limes_{g\rightarrow0}g)-f(x+\limes_{h\rightarrow0}h,y)-f(x,y+\limes_{g\rightarrow0}g)+f(x,y)}{\limes_{h\rightarrow0}h\limes_{g\rightarrow0}g} [/mm] $
Hier steht ganz plötzlich eine 0 im Nenner. Nicht ein Ausdruck, der gegen Null strebt, etc. etc., sondern eine echte 0, denn
[mm] $\lim_{g\to 0}g [/mm] = 0.$
Und durch 0 kannst Du nicht teilen. Selbst eine 0 im Zähler würde nix helfen, weil [mm] $\frac [/mm] 00$ ein genauso unmöglicher Ausdruck ist.
Du siehst das Problem? ^^
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 Mi 27.04.2011 | | Autor: | BarneyS |
Also erstmal vielen Dank für die Antworten!
Dass das mit der Null im Nenner ein Problem ist, war mir nicht aufgefallen. Ich dachte, da es ja gegen Null strebt, aber nie Null wird, ist das nicht relevant. Ich weiß auch keine Abhilfe im Moment.
Naja, hab den Beweis erstmal so abgegeben und bin mal gespannt auf die Besprechung der Aufgaben. Vielleicht kommt ja dann auch die Sache mit dem Mittelwertsatz...
Grüße,
B
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