Beweis des Isomorphiesatzes < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Sa 02.12.2006 | | Autor: | kl.Hexe |
| Aufgabe | Aufgabe 1 Beweisen Sie den 1. Isomorphiesatz:
Sei (G;*)eine Gruppe, U [mm] \subseteq [/mm] G eine Untergruppe und N C G ein Normalteiler.
Dann gilt:
(a) U * N [mm] \subseteq [/mm] G ist Untergruppe von G.
(b) N C U *N und U \ N C U
(c) U=(U \ N) [mm] \cong [/mm] (U * N)/N
Aufgabe 2
(a) Seien G und H endliche Gruppen teilerfremder Ordnung.
Zeigen Sie, dass es genau einen Gruppenhomomorphismus 'f : G -> H
gibt.
(b) Bestimmen Sie alle Gruppenhomomorphismen g : (Z/nZ; +) -> (Z/mZ; +)
für m; n [mm] \in [/mm] {6; 7; 9}.
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich verstehe absolut was ich überhaupt machen muss, kann mir irgendjemand ne Lösung mit Erklärung oder zumindest mal eine Erklärung der Aufgaben geben?
|
|
| |
|
Hallo,
hier nochmals die Aufgabenstellung; vor allem Teil c) mutete, so, wie Du ihn hingeschrieben hast, etwas seltsam an  :
Sei $(G;*)$ eine Gruppe, $U [mm] \subseteq [/mm] G$ eine Untergruppe und $N [mm] \subset [/mm] G$ ein Normalteiler.
Dann gilt:
(a) $U * N [mm] \subseteq [/mm] G$ ist Untergruppe von G.
(b) $N [mm] \subset [/mm] U *N$ und $U [mm] \cap [/mm] N [mm] \subset [/mm] U$
(c) $U/(U [mm] \cap [/mm] N) [mm] \cong [/mm] (U * N)/N$
Oder wie genau lautete Teil c) der Aufgabenstellung?
Mfg
zahlenspieler
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Do 07.12.2006 | | Autor: | kl.Hexe |
Die Aufgabe 1c) hat der Pc anders übernommen, als ich es gewollt habe. Allerdings soll der Malpunkt wirklich ein Stern sein, der als Symbol für "verknüpft" steht. Wir haben das halt so eingeführt...
Und das "c" soll für Normalteiler stehen, aber da gibt es kein Zeichen auf der Tastatur und auch nicht in den Zeichen von diesem Forum.
Ich hab bisher leider noch immer keine Ahnung, was ich da machen soll.
|
|
|
| |
|
Hallo kl.Hexe,
ich nehme an, daß [mm] $U*N:=\cup{u \in U} [/mm] uN$. Dann kannst Du (falls Untergruppenkriterium bekannt ) damit Teil a) beweisen.
Tip zu c): Betrachte den "kanonischen" Homomorphismus, eingeschränkt auf $U$; also [mm] $#phi(u)=uN\quad \forall\quad [/mm] u [mm] \in [/mm] U$. Wie sieht der Kern aus? Und jetzt wendest Du den Homomorphiesatz an und mußt nur noch [mm] $U*N/N=\im{\phi}$ [/mm] zeigen.
Mfg
zahlenspieler
|
|
|
|
