Beweis der lin. Abhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 So 15.01.2006 | | Autor: | schesche |
| Aufgabe | Beweisen Sie: a) Eine Menge \ [mm] {v_1 ,..., v_n+1 } [/mm] von n+1 Vektoren in [mm] R^n [/mm] ist immer linear abhängig.
b) Betrachten Sie den Untervektorraum \ V:= [mm] Span(v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] , [mm] V_1 [/mm] + [mm] v_2 [/mm] ), wobei [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] Vektoren in [mm] \IR^n [/mm] sind, mit n>=2. Welche Werte kann dimV annehmen?
|
Meine Idee zu a) :
Wenn ich beispielsweise 4 Vektoren im dreidim. Raum habe, dann ist das eigentlich einer zuviel und er müsste als Linearkombination der anderen drei darstellbar sein. Gemäß der Def. von lin. Unabhängigkeit folgt daraus: lin. Abhängig.
Aber wie drücke ich das jetzt allgemeingültig als Beweis aus?
Kann mir das mal jemand aufschreiben?
Zu b)b) Betrachten Sie den Untervektorraum [mm] \V:= Span(v_1 [/mm] . [mm] v_2 [/mm] , [mm] V_1 [/mm] + [mm] v_2 [/mm] ) , wobei [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] Vektoren in [mm] \IR^n [/mm] sind, mit n>=2. Welche Werte kann dimV annehmen?
Mein Problem ist, dass ich nicht so genau weiß, was der Span eigentlich ist. Meines wissens ist der Span die "lin. Hülle" eines Vektorraumes, also die Menge aller Linearkombinationen im betrachteten Bereich. Wie bringt mich das jetzt aber mit der Dimension weiter und hier ebenfalls das Problem: Wie bringe ich das jetzt in Beweisform?
Wäre dankbar für jede Hilfe.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=49711&start=0&lps=372045
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 18:25 So 15.01.2006 | | Autor: | dominik |
Hallo schesche
> Beweisen Sie: a) Eine Menge \ [mm]{v_1 ,..., v_n+1 }[/mm] von n+1
> Vektoren in [mm]R^n[/mm] ist immer linear abhängig.
>
> Meine Idee zu a) :
> Wenn ich beispielsweise 4 Vektoren im dreidim. Raum habe,
> dann ist das eigentlich einer zuviel und er müsste als
> Linearkombination der anderen drei darstellbar sein. Gemäß
> der Def. von lin. Unabhängigkeit folgt daraus: lin.
> Abhängig.
>
> Aber wie drücke ich das jetzt allgemeingültig als Beweis
> aus?
> Kann mir das mal jemand aufschreiben?
>
Ja, so sollte es gehen: drei Vektoren in [mm] R^{2} [/mm] sind linear abhängig, vier in [mm] R^{3} [/mm] usw; versuchst du es mit der vollständigen Induktion?
Gruss
dominik
|
|
|
|
