Beweis der Additionsformel < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Mi 16.02.2005 | | Autor: | clwoe |
Wer kann mir schritt für schritt den Beweis der Additionsformel aus der Kombinatorik zeigen.
Also ich meine, wie kriege ich es hin dass:
(n+1) über (k+1) = (n über k) + (n über (k+1)
So das halt am Ende auf beiden Seite das Gleiche steht.
Also wirklich Schritt für Schritt!
vielen Dank!
Dominic
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hi, clwoe,
versuchs' mal mit der Definition des Binomialkoeffizienten!
Für die linke Seite kriegst Du:
[mm] \vektor{n+1\\k+1}=\bruch{(n+1)!}{(k+1)!*(n-k)!}
[/mm]
Die rechte Seite ist: [mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!}+\bruch{n!}{(k+1)!*(n-k-1)!}
[/mm]
Nun formst Du die rechte Seite um, bis Du die linke Seite kriegst. Dazu musst Du den ersten Summanden mit (k+1) erweitern, den zweiten mit (n-k). Der Nenner ist danach ja offensichtlich schon derselbe, im Zähler musst Du halt n! ausklammern und berücksichtigen, dass n!*(n+1)=(n+1)! ist.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Mi 16.02.2005 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
danke erstmal, aber genau das was auf der rechten Seite und auf der linken seite steht habe ich ja bereits. Nur mein Problem ist, das ich nicht verstehe, wie ich im rechten Summanden das (n-k-1)! wegkriege und es dann nicht mehr am Ende im Hauptnenner steht, und warum ich ebenfalls im rechten Summanden im Zähler (n-k) allerdings ohne Fakultät stehen habe. Ich kann einfach nicht die notwendigen Rechenschritte, um die zwei Summanden so schrittweise zusammen zu fassen, um die linke Seite zu erhalten. Ich sitze nun schon seit drei oder vier Tagen über diesem Problem und ich habe auch absolut nichts dazu gefunden. Bitte, I need your help!
Gruss,
Dominic
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Hallo Dominic!
Eigentlich hat Zwerglein ja schon alles Wichtige aufgeschrieben, aber wenn Du schon seit Tagen drüber nachdenkst, will ich Dich mal erlösen 
> danke erstmal, aber genau das was auf der rechten Seite und
> auf der linken seite steht habe ich ja bereits. Nur mein
> Problem ist, das ich nicht verstehe, wie ich im rechten
> Summanden das (n-k-1)! wegkriege und es dann nicht mehr am
> Ende im Hauptnenner steht, und warum ich ebenfalls im
> rechten Summanden im Zähler (n-k) allerdings ohne Fakultät
> stehen habe.
Zunächst gilt
[mm]
{n\choose k} + {n\choose k+1}=\frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}[/mm]
[mm]=\frac{(k+1)\cdot n!}{(k+1)\cdot k!(n-k)!} + \frac{(n-k)\cdot n!}{(k+1)!\cdot(n-k)\cdot(n-k-1)!}[/mm]
[mm]=\frac{(k+1)\cdot n!}{(k+1)!(n-k)!} + \frac{(n-k)\cdot n!}{(k+1)!\cdot(n-k)!},[/mm]
denn aufgrund der Definition der Fakultät gilt sowohl [mm] $(k+1)\cdot [/mm] k!=(k+1)!$ als auch [mm] $(n-k)\cdot [/mm] (n-k-1)!=(n-k)!$. Jetzt können wir die Brüche zusammenfassen:
[mm]
{n\choose k} + {n\choose k+1}=\frac{(k+1)\cdot n! + (n-k)\cdot n!}{(k+1)!\cdot(n-k)!}[/mm]
[mm]=\frac{(k+1+n-k)\cdot n!}{(k+1)!\cdot(n-k)!}[/mm]
[mm]=\frac{(n+1)\cdot n!}{(k+1)!\cdot(n-k)!}[/mm]
[mm]=\frac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot(n-k)!}[/mm]
[mm]=\frac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot(n+1-(k+1))!}={n+1\choose k+1}.[/mm]
Jetzt alles klar?
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:54 Do 17.02.2005 | | Autor: | clwoe |
Vielen vielen Dank Brigitte,
endlich bin ich erlöst!
gruss,
Dominic
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