Beweis: (cos x)' = -sin x < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wie kann ich (cos x)' = -sin x beweisen? Ich habe zur Grundlage die Additionstheoreme. Der Rest müsste dann irgendwie hergeleitet werden. Da ich da gar nicht weiß, wie ich anfangen soll, hab ich das in letzer Not, nach einigem Suchen und Probieren heute hier gepostet. Hoffe ihr seid nicht sauer, wenn es so auf den letzten Drücker ist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Mo 29.11.2004 | | Autor: | dominik |
1. Du weisst, dass cos(x) = [mm] sin(\bruch{\pi}{2}-x) [/mm] und
sin(x) = [mm] cos(\bruch{\pi}{2}-x)
[/mm]
2. Du weisst auch, dass (sin x)' = cos x
3. Du kennst weiter die Kettenregel der Ableitung
Damit ist:
(cos x)' = [mm] (sin(\bruch{\pi}{2}-x))' [/mm] = [mm] cos(\bruch{\pi}{2}-x) [/mm] * (-1)
[mm] =-cos(\bruch{\pi}{2}-x) [/mm] = - sin x
Hinweis: -1 ist die Ableitung von [mm] \bruch{\pi}{2}-x; [/mm] in der Kettenregel muss man eben den "inneren Term" auch ableiten und als Faktor dazu fügen ...
Viel Glück
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Niilzzz |
Hallo,
also ich habe einige Problemchen..
ich sitze nun schon seit mehreren Tagen da, und versuche zu Beweisen (geometrische Herleitung!) das f(x)=sinx = f´(x)=cosx ist.
Nun scheint es da mehrere möglichkeiten zu geben.
Ich habe mich eigentlich auf die Differentiaquoienten variante geeinigt.
f(x)=sinx
ms= (sinx0cosh+cosx0sinh-sinx0) / (h) -> OK!
- Ausklammern -
sinx0*(cosh-1/h) + cosx0*(sinh/h) -> OK!
Und nun wird aber auf irgendeine Vorrechnung auf S. XY verwiesen, welche ich aber in keinen Zusammenhang setzen kann und dann steht da:
Daraus folgt:
lim(h->0)=ms=cosx0 Wie jetzt?
Nun meine Frage:
Kann mir das jemand erleutern, oder einen Weg zeigen den ich bisher vernachlässigt habe oder der besser/einfacher geht?!
Danke im Vorraus!
Nils
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Hallo,
versuch es mal über die Reihenentwicklung des Sinus.
[mm]\mathop {\lim }\limits_{{\rm{h}} \to 0} \;\frac{{\sin \left( {{\rm{x}}_{\rm{0}} \;{\rm{ + }}\;{\rm{h}}} \right)\; - \;\sin \left( {x_0 } \right)}}{{\rm{h}}}[/mm]
Es ist:
[mm]\sin \left( {{\rm{x}}_{\rm{0}} \;{\rm{ + }}\;{\rm{h}}} \right)\; = \;\sum\limits_{{\rm{k}} = 0}^\infty {\frac{{\left( {{\rm{ - 1}}} \right)^{\rm{k}} }}{{\left( {{\rm{2k + 1}}} \right){\rm{!}}}}\;\left( {{\rm{x}}_{\rm{0}} \;{\rm{ + }}\;{\rm{h}}} \right)^{{\rm{2k + 1}}} }
[/mm]
[mm]\sin \left( {{\rm{x}}_{\rm{0}} } \right)\; = \;\sum\limits_{{\rm{k}} = 0}^\infty {\frac{{\left( {{\rm{ - 1}}} \right)^{\rm{k}} }}{{\left( {{\rm{2k + 1}}} \right){\rm{!}}}}\;{\rm{x}}_{\rm{0}}^{{\rm{2k + 1}}} } [/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Do 30.12.2004 | | Autor: | Niilzzz |
so...
das kann ich als Vortrag nicht verwenden, das versteht niemand.
Wäre es ausreichend geometrisch wenn ich das über den Differentialquotienten mache?
Aber erkläre mir bitte mal jemand diesen Schritt:
aus: sinx0*(cosh-1/h)+cosx0*(sinh/h)
wird:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = ms = cosx
Ja bitte wie denn? Wenn ich h (n) gegen 0 streben lasse kommt doch nicht cosx raus ?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 So 02.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Niilzzz!
Dann teile uns die "Vorrechnung auf Seite XY" bitte mal im Detail mit.
Vermutlich werden dort die folgenden Beziehungen hergeleitet:
[mm] $\lim\limits_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} [/mm] = 1$
und
[mm] $\lim\limits_{h \to 0} \frac{\cos(h)-1}{h} [/mm] = 0$,
kann das sein?
Das könnte man zum Beispiel geometrisch ablesen (Tangentensteigungen des Sinus/Cosinus im Nullpunkt), durch das Einsetzen kleiner Werte von $h$ oder aber mathematisch exakt, etwa mit den Reihendarstellungen, die hier schon erwähnt wurden.
Liebe Grüße
Stefan
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