Beweis aufstellen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Fr 07.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Die Menge M sei bezüglich der Verknüpfung [mm] \* [/mm] (also irgendeine Verknüpfung) eine Halbgruppe. Es existiere ein Element e [mm] \in [/mm] M mit
den Eigenschaften
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M: x [mm] \* [/mm] e = x (rechtsneutrales Element)
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] M: x [mm] \* [/mm] y = e (rechtsinverses Element)
Zeigen Sie, dass M bezüglich [mm] \* [/mm] eine Gruppe (mit neutralem Element e) ist. |
Hallo,
Erstmal vorweg. Die Begriffe sind mit alle klar und komm damit eigentlich auch sehr gut zurecht, nur fehlt mir hier der Ansatz.
Also zz ist doch eigentlich nur, dass es ein linksneutrales und linksinverses Element für alle x gibt, oder?
Aossziativität gilt wegen der Vorgabe (Halbgruppe) auch. Kann mir da jemand vllt ein paar Tipps geben, wie man hier herangehen könnte? Danke.
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> Die Menge M sei bezüglich der Verknüpfung [mm]\*[/mm] (also
> irgendeine Verknüpfung) eine Halbgruppe. Es existiere ein
> Element e [mm]\in[/mm] M mit
> den Eigenschaften
>
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M: x [mm]\*[/mm] e = x (rechtsneutrales Element)
>
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\exists[/mm] y [mm]\in[/mm] M: x [mm]\*[/mm] y = e (rechtsinverses
> Element)
Damit hast du die abgeschwächte Form der Definition einer Gruppe. Aber das sollst du ja nachrechnen.
>
> Zeigen Sie, dass M bezüglich [mm]\*[/mm] eine Gruppe (mit
> neutralem Element e) ist.
> Hallo,
>
> Erstmal vorweg. Die Begriffe sind mit alle klar und komm
> damit eigentlich auch sehr gut zurecht, nur fehlt mir hier
> der Ansatz.
>
> Also zz ist doch eigentlich nur, dass es ein linksneutrales
> und linksinverses Element für alle x gibt, oder?
>
> Aossziativität gilt wegen der Vorgabe (Halbgruppe) auch.
> Kann mir da jemand vllt ein paar Tipps geben, wie man hier
> herangehen könnte? Danke.
Es ist einfacher erst die Existenz eines linksinverses Element zu beweisen.
Betrachte [mm] $g\in [/mm] G$ und g' mit gg'=e und g'' mit g'g''=e . Denn rechtsinverse hast du
Dann rechnest du mit
[mm] $g'gg'g''=\ldots=e$ [/mm] und
[mm] $g'gg'g''=\ldots=g'g$
[/mm]
aus, dass e=g'g also g' auch ein linksinverses Element ist.
Hast du das ,dann
geht das mit dem linksneutralen Element auch einfach:
eg=...=g
Man benutze geschickt die Assoziativität.^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Fr 07.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Irgendwie versteh ich deine Rechnung mir den "g"'s nicht. Bist du dir sicher, dass das so stimmt? Wenn ja, kannst du mir das nochmal genau erklären. Also was g' und g'' z.B. dann genau sind bzw. wie du dann auf die Rechnung kommst. Ist mir irgendwie noch nicht klar. Danke vielmals.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 Sa 08.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Irgendwie versteh ich deine Rechnung mir den "g"'s nicht.
> Bist du dir sicher, dass das so stimmt?
Auch wenn ich nicht wieschoo bin: ja.
> Wenn ja, kannst du
> mir das nochmal genau erklären. Also was g' und g'' z.B.
> dann genau sind
Wie wieschoo geschrieben hat: g' ist eine Rechtsinverse von g, und g'' ist eine Rechtsinverse von g'.
> bzw. wie du dann auf die Rechnung kommst.
Na, das sollst du selber herausfinden. Wie er darauf kommt? Vermutlich weil er die Aufgabe auch schon mal geloest hat bzw. den Beweis irgendwo anders gesehen hat.
Hier sollst du aber selber rechnen. Was herauskommen soll hat er dir ja schon freundlicherweise gesagt. Also leg mal los. Du hast das Assoziativgesetz (was durch das Weglassen der Klammern schon implizit genutzt wird) und halt $g g' = e$ und $g' g'' = e$. Das ist wirklich sehr leicht. Probier doch mal!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Sa 08.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..ich versuchs mal:
Also, ich betrachte g [mm] \* [/mm] g' = e und g' [mm] \* [/mm] g'' = e, wobei g' und g'' zwei rechtsinverse Elemente sind (ist solch ein Element denn nicht eindeutig?)
Ich soll rechnen ( versteh aber immer noch nicht wieso man damit anfangen kann)
g' [mm] \* [/mm] (g [mm] \* [/mm] g') [mm] \* [/mm] g''
= g' [mm] \* [/mm] e [mm] \* [/mm] g''
= g' [mm] \* [/mm] g'' (das neutrale Element verändert nichts)
= e
g' [mm] \* [/mm] g [mm] \* [/mm] (g' [mm] \* [/mm] g'')
= g' [mm] \* [/mm] g [mm] \* [/mm] e
= g' [mm] \* [/mm] g
So?
Wenn das stimmt, wäre das linksinverse Element, etwa g', gefunden. Wie kann man dann das linksneutrale Element zeigen? Ich versuchs aber mal.
g = g [mm] \* [/mm] e = g [mm] \* [/mm] (g' [mm] \* [/mm] g) = (g [mm] \* [/mm] g') [mm] \* [/mm] g = e [mm] \* [/mm] g = g
Ist das so ok?
Danke.
EDIT: Kann mir wirklich niemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 So 09.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Stimmt meine Antwort? Schreib nochmal was, weil die eine Frage überfällig ist
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> Hmm..ich versuchs mal:
>
> Also, ich betrachte g [mm]\*[/mm] g' = e und g' [mm]\*[/mm] g'' = e, wobei g'
> und g'' zwei rechtsinverse Elemente sind (ist solch ein
> Element denn nicht eindeutig?)
>
> Ich soll rechnen ( versteh aber immer noch nicht wieso man
> damit anfangen kann)
>
> g' [mm]\*[/mm] (g [mm]\*[/mm] g') [mm]\*[/mm] g''
> = g' [mm]\*[/mm] e [mm]\*[/mm] g''
> = g' [mm]\*[/mm] g'' (das neutrale Element verändert nichts)
> = e
>
> g' [mm]\*[/mm] g [mm]\*[/mm] (g' [mm]\*[/mm] g'')
> = g' [mm]\*[/mm] g [mm]\*[/mm] e
> = g' [mm]\*[/mm] g
>
> So?
Ja so war das geplant. Gut.
>
> Wenn das stimmt, wäre das linksinverse Element, etwa g',
> gefunden. Wie kann man dann das linksneutrale Element
> zeigen? Ich versuchs aber mal.
>
> g = g [mm]\*[/mm] e = g [mm]\*[/mm] (g' [mm]\*[/mm] g) = (g [mm]\*[/mm] g') [mm]\*[/mm] g = e [mm]\*[/mm] g = g
Jop.
g = g [mm]\*[/mm] e = g [mm]\*[/mm] (g' [mm]\*[/mm] g) = (g [mm]\*[/mm] g') [mm]\*[/mm] g = e [mm]\*[/mm] g
Ist vielleicht besser ohne =g am Ende, denn das weiß ja vorher niemand.
>
> Ist das so ok?
Ja alles in Ordnung.
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> Danke.
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> EDIT: Kann mir wirklich niemand helfen?
Wir sind leider kein 24 Support.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 So 09.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Wir sind leider kein 24 Support.
Hab ich auch nicht erwartet. Hatte das nur geschrieben, weil die Gültigkeit der Frage abgelaufen war. Vllt wird das dann nicht angezeigt. Hab ich zumindest gedacht xD Aber danke sehr.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 So 09.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
Es ging mir auch nur ausschließlich um:
> EDIT: Kann mir wirklich niemand helfen?
und nicht um deine weitere Frage. Dann wär ja alles geklärt. Einen schönen Abend noch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 So 09.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Es ging mir auch nur ausschließlich um:
> EDIT: Kann mir wirklich niemand helfen?
Ja, eben. Ich dachte, dass man den Zeitpunkt auch verändern kann, wenn man einfach noch was dazu schreibt. Und dem war nicht so. xD Deswegen auch die neue Frage. ;)
Aber ist ja jetzt auch egal.
> Einen schönen Abend noch
Ich wünsch dir auch noch einen schönen Abend. Danke nochmal.
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