Beweis Äquivalenzrelation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:41 Mo 13.12.2004 | | Autor: | pansen |
Hiho,
ich sitz grad bei einer Aufgabe und hab überhaupt keine Ahnung wo ich da ansetzen soll ( reflexivität, symmetrie und transitivität sind bekannt). Für ein paar Tipps wär ich dankbar :]
M = N0 x N0; R [mm] \subseteq [/mm] M X M sei definiert durch:
(a,b)R(c,d) [mm] \gdw [/mm] (a+b)=(d+c)
Nun soll man beweisen das das eine Äquivalenzrelation ist. Wie gesagt, ich brauch ( hoffentlich ) nur einen Ansatz.
danke für hilfe ...
btw: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:50 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Pansen,
ich schlafe beim Schreiben fast ein (bin saumüde), aber trotzdem:
> Hiho,
>
> ich sitz grad bei einer Aufgabe und hab überhaupt keine
> Ahnung wo ich da ansetzen soll ( reflexivität, symmetrie
> und transitivität sind bekannt). Für ein paar Tipps wär ich
> dankbar :]
>
> M = N0 x N0; R [mm]\subseteq[/mm] M X M sei definiert durch:
> (a,b)R(c,d) [mm]\gdw[/mm] (a+b)=(d+c)
Wir merken uns mal:
$M = [mm] \IN_0 \times \IN_0$; [/mm] R [mm]\subseteq M \times M[/mm] sei definiert durch:
[mm] $(\star)$ [/mm] $(a,b)$R$(c,d)$ [mm]\gdw[/mm] $(a+b)=(d+c)$
Ich sag dir, was du zeigen sollst, und du zeigst es dann, okay?
Reflexivität:
Zeige:
Für $(a,b) [mm] \in \IN_0 \times \IN_0=M$ [/mm] gilt:
$(a,b)$R$(a,b)$.
(Mit anderen Worten:
Es ist zu zeigen, dass [mm] $\forall [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] M$ gilt: $((a,b),(a,b)) [mm] \in$ [/mm] R.)
Symmetrie:
Zeige:
Für $(a,b),(x,y) [mm] \in \IN_0 \times \IN_0=M$ [/mm] gilt:
Wenn $(a,b)$R$(x,y)$ gilt, dann gilt auch $(x,y)$R$(a,b)$.
Transitivität:
Zeige:
Für $(a,b),(c,d),(e,f) [mm] \in \IN_0 \times \IN_0=M$ [/mm] gilt:
Wenn $(a,b)$R$(c,d)$ und $(c,d)$R$(e,f)$ gilt, dann gilt auch:
$(a,b)$R$(e,f)$.
So, als Vorlage führe ich dir mal vor, wie die Symmtrie hier nachgewiesen wird. (Bei der Aufgabe ist aber eh eigentlich alles offensichtlich!)
Also:
Symmetrie:
Seien $(a,b),(x,y) [mm] \in M=\IN_0 \times \IN_0$ [/mm] mit $(a,b)$R$(x,y)$. Nach Definition der Relation (also nach [mm] $(\star)$) [/mm] folgt dann:
$(a+b)=(x+y)$.
Daraus wiederum folgt:
$(x+y)=(a+b)$.
Nach Definition der Äquivalenzrelation (also [mm] $(\star)$) [/mm] folgt nun:
$(x,y)$R$(a,b)$, was zu zeigen war.
Also ist R symmetrisch.
So, jetzt aber wirklich ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") !
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Mo 13.12.2004 | | Autor: | pansen |
So, erstmal danköö für deine schnelle Antwort.
Ich habs erstmal mit der Transitivität versucht:
Seien (a,b),(c,d),(e,f) [mm] \in [/mm] M = [mm] N_{0} [/mm] X [mm] N_{0} [/mm] , dann gilt:
Wenn (a+b)=(c+d) und (c+d)=(e+f) [mm] \Rightarrow [/mm] (a+b)=(e+f).
[mm] \Rightarrow [/mm] (a,b)R(c,d) [mm] \wedge [/mm] (c,d)R(e,f) [mm] \Rightarrow [/mm] (a,b)R(e,f)
Reicht das als Beweis ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hi Pansen!
> So, erstmal danköö für deine schnelle Antwort.
Bittö! 
> Ich habs erstmal mit der Transitivität versucht:
>
> Seien (a,b),(c,d),(e,f) [mm]\in[/mm] M = [mm]N_{0}[/mm] X [mm]N_{0}[/mm] , dann
> gilt:
>
> Wenn (a+b)=(c+d) und (c+d)=(e+f) [mm]\Rightarrow[/mm]
> (a+b)=(e+f).
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (a,b)R(c,d) [mm]\wedge[/mm] (c,d)R(e,f) [mm]\Rightarrow[/mm]
> (a,b)R(e,f)
>
> Reicht das als Beweis ?
Aus meiner Sicht:
Ja!
Aber ich würde es (der Didaktik wegen) ein bisschen anders aufschreiben:
Seien $(a,b),(c,d),(e,f) [mm] \in [/mm] M = [mm] \IN_{0} \times \IN_{0}$ [/mm] und $(a,b)$R$(c,d)$ sowie $(c,d)$R$(e,f)$.
[mm] (\red{Bemerkung:} [/mm] Wenn man ganz kleinlich sein will, dann sollte man (daran habe ich aber gestern, vermutlich wegen der Müdigkeit, auch nicht gedacht) sogar eher so anfangen:
Seien $s,t,u [mm] \in M=\IN_0 \times \IN_0$ [/mm] mit $s$R$t$ und $t$R$u$. Dann existieren $a,b,c,d,e,f [mm] \in \IN_0$ [/mm] mit $s=(a,b)$, $t=(c,d)$ sowie $u=(e,f)$. Wegen $s$R$t$ folgt dann
$(a,b)$R$(c,d)$ und aus $t$R$u$ folgt
$(c,d)$R$(e,f)$ und dann so wie oben bzw. gleich weiterverfahren. [mm] \red{Ende \; der \; Bem.}.)
[/mm]
Aus $(a,b)$R$(c,d)$ folgt (nach Def. von R)
$(a+b)=(c+d)$ und
aus $(c,d)$R$(e,f)$ folgt (nach Def. von R)
$(c+d)=(e+f)$.
Daraus folgt
wegen $(a+b)=(c+d)=(e+f)$ (wegen der Transitivität von "=") also
$(a+b)=(e+f)$, und daher (nach Def. von R)
$(a,b)$R$(e,f)$.
Das ist jetzt eine sehr ausführlich aufgeschriebene Lösung für eine sehr kleine Aufgabe; aber hieran gibt es dann (hoffentlich) nichts zu bemängeln, da alle Schritte begründet sind.
Mir würde deine Lösung vollkommen genügen; leider weiß ich nicht, wie ausführlich bei euch die Lösung verlangt wird. Notfalls einfach mal bei einem/einer Korrekteur/In nachfragen (oder bei dem/der Übungsleiter/In oder dem/der Professor/In).
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Mo 13.12.2004 | | Autor: | pansen |
Super, vielen dank für deine mühe !! Unsere bisherigen Beweise mussten nicht ganz so ausführlich sein, trotzdem gut zu wissen wie mans komplett richtig macht.
Schönen abend noch !
Edit: Hey, du kommst ja auch aus Trier :) zufälle gibts :]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:05 Di 14.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hi Pansen!
> Super, vielen dank für deine mühe !! Unsere bisherigen
> Beweise mussten nicht ganz so ausführlich sein, trotzdem
> gut zu wissen wie mans komplett richtig macht.
>
> Schönen abend noch !
Thx! Dir auch (ist zwar schon etwas spät ).
>
> Edit: Hey, du kommst ja auch aus Trier :) zufälle gibts :]
Aha, du anscheinend auch?! Studierst du auch in Trier?
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Di 14.12.2004 | | Autor: | pansen |
Ja, ich auch. Bin allerdings noch im 1. Semester, WirtInf studier ich.
mfg
|
|
|
|
