Beweis [ab,c]=a[b,c]a^-1[a,c] < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweis, dass [mm] [ab,c]=a[b,c]a^{-1}[a,c] [/mm] für alle Elemente a,b,c einer Gruppe G. |
Hallo liebe Community,
ich habe mir zu der Aufgabe nun bereits Gedanken gemacht und wollte mich erkundigen, ob mein Weg so richtig ist.
z.z. [ab,c]=a[b,c]a^-1[a,c]
Ich habe immer die rechte Seite umgeformt:
[mm] [ab,c]=a*b*c*b^{-1}*c^{-1}*a^{-1}*a*c*a^{-1}*c^{-1} [/mm]
[mm] [ab,c]=a*b*c*b^{-1}*c^{-1}*c*a^{-1}*c^{-1} [/mm]
--> Kann hier das einfach wegkürzen? Weil es stand ja da [mm] a*a^{-1} [/mm] und
das hebt sich ja auf.
[mm] [ab,c]=a*b*c*b^{-1}*a^{-1}*c^{-1} [/mm]
--> Hier habe ich halt wieder gekürzt. Weil ja da stand [mm] c*c^{-1} [/mm] und das
sich wieder aufhebt
Somit folgt dann: [mm] [ab,c]=(ab)*c*(ab)^{-1}*c^{-1}=[ab,c]
[/mm]
Kann mir bitte jemand sagen ob ich das alles so machen darf? :)
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Hallo,
ich verstehe leider überhaupt nicht, was du da rechnest. Du schreibst dreimal irgendetwas anderes für $[ab,c]$ und folgerst am Ende, dass $[ab,c]=[ab,c]$ - um das rauszukriegen, braucht man aber nichts zu rechnen. Die Aufgabe ist eigentlich stumpfes nachrechnen. Sieh dir genau die Definition von $[ab,c]$ an, wende sie an und vereinfache. Anschließend mache dasselbe mit [mm] $a[b,c]a^{-1}[a,c]$ [/mm] und sieh nach, ob dasselbe herauskommt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Ich habe ja stumpf gerechnet :)
Ich fand es halt einfacher, die rechte Seite umzuformen.
So kann man ja [b,c] auch schreiben als [mm] b*c*b^{-1}*c^{-1} [/mm]
So habe ich das dann auch für [a,c] gemacht und das dann immer weiter umgeformt um dann am Ende auf [ab,c]=[ab,c] zu kommen und somit gezeigt, dass beide Seiten identisch sind.
Und bei der Umformung bin ich halt auf [mm] a*a^{-1} [/mm] gestoßen und das hebt sich ja auf oder?
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Hallo,
> Ich habe ja stumpf gerechnet :)
> Ich fand es halt einfacher, die rechte Seite umzuformen.
>
> So kann man ja [b,c] auch schreiben als [mm]b*c*b^{-1}*c^{-1}[/mm]
> So habe ich das dann auch für [a,c] gemacht und das dann
> immer weiter umgeformt um dann am Ende auf [ab,c]=[ab,c] zu
> kommen und somit gezeigt, dass beide Seiten identisch sind.
>
> Und bei der Umformung bin ich halt auf [mm]a*a^{-1}[/mm] gestoßen
> und das hebt sich ja auf oder?
Jojo, alles weitestgehend gut. Du hättest halt mal sagen sollen, wie $[x,y]$ definiert ist ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
> Beweis, dass [mm][ab,c]=a[b,c]a^{-1}[a,c][/mm] für alle Elemente
> a,b,c einer Gruppe G.
Du solltest verraten, dass du mit [mm][x,y][/mm] meinst [mm]xyx^{-1}y^{-1}[/mm]
So muss man sich das ja zusammenreimen ...
> Hallo liebe Community,
> ich habe mir zu der Aufgabe nun bereits Gedanken gemacht
> und wollte mich erkundigen, ob mein Weg so richtig ist.
>
> z.z. [ab,c]=a[b,c]a^-1[a,c]
>
> Ich habe immer die rechte Seite umgeformt:
> [mm][ab,c]=a*b*c*b^{-1}*c^{-1}*a^{-1}*a*c*a^{-1}*c^{-1}[/mm]
> [mm][ab,c]=a*b*c*b^{-1}*c^{-1}*c*a^{-1}*c^{-1}[/mm]
> --> Kann hier das einfach wegkürzen? Weil es stand ja da
> [mm]a*a^{-1}[/mm] und
> das hebt sich ja auf. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genau [mm]aa^{-1}=e[/mm] neutrales Element und das tut nicht weh ...
> [mm][ab,c]=a*b*c*b^{-1}*a^{-1}*c^{-1}[/mm]
> --> Hier habe ich halt wieder gekürzt. Weil ja da stand
> [mm]c*c^{-1}[/mm] und das
> sich wieder aufhebt
> Somit folgt dann: [mm][ab,c]=(ab)*c*(ab)^{-1}*c^{-1}=[ab,c][/mm]
Das stimmt - hier würde ich aber einen Schritt zwischenschieben als Begründung - etwa klammern und sagen, dass [mm](ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}[/mm] ist ...
>
> Kann mir bitte jemand sagen ob ich das alles so machen
> darf? :)
Da du sämtlich Äquivalenzumformungen machen musst und diese begründen solltest, wäre es "sicherer" gewesen, du hättest meinetwegen nur die rechte Seite hergenommen und sie so lange umgeformt (so wie du es gemacht hast), bis die linke Seite dasteht ...
Gruß
schachuzipus
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