Beweis Weg/Zerlegungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \gamma [/mm] : [a;b] [mm] \to \IR [/mm] ^n ein Weg. Ferner seien Z und Z~ zwei Zerlegungen von [a;b] mit Z [mm] \subset [/mm] Z~ . Zeigen Sie: dann gilt L( [mm] \gamma [/mm] ;Z) < L( [mm] \gamma [/mm] ;Z~).
Bemerkung:
Wer die Behauptung unter der vereinfachenden Voraussetzung |Z~|=|Z|+1 zeigt, bekommt trotzdem volle Punktzahl.
Überlegen Sie, wieso damit im Wesentlichen sowieso der allgemeine Fall bewiesen ist. |
Ok, diesen Beweis muss ich führen ... jetzt habe ich mir als erstes einmal Gedanken gemacht, was die verschiedenen Bezeichnungen überhaupt bedeuten: Ein Weg ist eine stetige Abbildung eines reellen Intervalls in einen topologischen Raum. Was einem hier vielleicht noch helfen könnte wäre: Wenn ein Weg rektifizierbar ist, ist seine Länge das Integral über den Betrag der Ableitung. Und dann noch: bei der Zerlegung geht es wohl um Riemann-Integrale, dort wird halt über immer feinere Zerlegungen der Flächeninhalt unter einer Kurve bestimmt.
Ok, was ich jetzt wohl machen muss ist irgendwie L( [mm] \gamma [/mm] ;Z) ausrechnen und dann irgendwie so abschätzen, dass es halt unter L( [mm] \gamma [/mm] ;Z~) bleibt. Wie genau einem der Hinweis nützlich sein soll weiß ich nicht. Über Hilfe hierbei würde ich mich sehr freuen.
Um noch ein wenig genauer zu werden. Ich würde halt gerne wissen wie ich diese Länge brechnen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Mi 05.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\gamma[/mm] : [a;b] [mm]\to \IR[/mm] ^n ein Weg. Ferner seien Z und
> Z~ zwei Zerlegungen von [a;b] mit Z [mm]\subset[/mm] Z~ . Zeigen
> Sie: dann gilt L( [mm]\gamma[/mm] ;Z) < L( [mm]\gamma[/mm] ;Z~).
> Bemerkung:
> Wer die Behauptung unter der vereinfachenden Voraussetzung
> |Z~|=|Z|+1 zeigt, bekommt trotzdem volle Punktzahl.
>
> Überlegen Sie, wieso damit im Wesentlichen sowieso der
> allgemeine Fall bewiesen ist.
>
>
> Ok, diesen Beweis muss ich führen ... jetzt habe ich mir
> als erstes einmal Gedanken gemacht, was die verschiedenen
> Bezeichnungen überhaupt bedeuten: Ein Weg ist eine stetige
> Abbildung eines reellen Intervalls in einen topologischen
> Raum.
In Deinem Fall ist der top. Raum der [mm] \IR^n
[/mm]
> Was einem hier vielleicht noch helfen könnte wäre:
> Wenn ein Weg rektifizierbar ist, ist seine Länge das
> Integral über den Betrag der Ableitung.
1. In der Aufgabe ist nicht vorausgesetzt, dass [mm] \gamma [/mm] rektifizierbar ist.
2. Um die Länge eines rektifizierbaren Weges mit dem Integral zu berechnen, reicht rektifizierbar nicht aus ! Der Weg sollt stückweise stetig differenzierbar sein.
> Und dann noch: bei
> der Zerlegung geht es wohl um Riemann-Integrale
Nein , darum geht es nicht !
> , dort wird
> halt über immer feinere Zerlegungen der Flächeninhalt
> unter einer Kurve bestimmt.
>
> Ok, was ich jetzt wohl machen muss ist irgendwie L( [mm]\gamma[/mm]
> ;Z) ausrechnen und dann irgendwie so abschätzen, dass es
> halt unter L( [mm]\gamma[/mm] ;Z~) bleibt. Wie genau einem der
> Hinweis nützlich sein soll weiß ich nicht. Über Hilfe
> hierbei würde ich mich sehr freuen. Um noch ein wenig
> genauer zu werden. Ich würde halt gerne wissen wie ich
> diese Länge brechnen kann.
In der Bemerkung steht, dass Du davon ausgehen kannst, dass Z~ genau einen Teilpunkt mehr als Z hat.
Sei also [mm] Z=\{x_0,...,x_n\} [/mm] und Z~ =Z [mm] \cup \{\xi\}, [/mm] wobei Du annehmen kannst: [mm] x_0<\xi< x_1.
[/mm]
Nun schreib damit L( $ [mm] \gamma [/mm] $ ;Z) und L( $ [mm] \gamma [/mm] $ ;Z~) einfach mal hin.
FRED
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L( [mm] \gamma [/mm] ;Z) = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] | [mm] \gamma (t_{k} [/mm] ) - [mm] \gamma (t_{k-1} [/mm] ) |
das wäre dann die erste Länge, und dann kann ich direkt sagen, dass das kleiner sein muss wie : L( [mm] \gamma [/mm] ;Z~ ) = [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] | [mm] \gamma (t_{k} [/mm] ) - [mm] \gamma (t_{k-1} [/mm] ) | ?? Weil das ja das gleiche ist, mit nur halt einem summanden mehr ?
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Hiho,
> ?? Weil das ja das gleiche ist, mit nur halt einem summanden mehr ?
nein ist es nicht!
Schreib die ersten drei Summanden unter der Annahme [mm] $t_0 [/mm] < [mm] \xi [/mm] < [mm] t_1$ [/mm] doch mal hin.
Dann seh ich da unterschiedliche Summanden....
MFG,
Gono.
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Ok also die ersten drei summanden der ersten wären dann [mm] \gamma(t_{1})-\gamma(t_{0})+\gamma(t_{2})-\gamma(t_{1})+\gamma(t_{3})-\gamma(t_{2}).....
[/mm]
und die ersten 3 der zweiten [mm] \gamma(\epsilon)-\gamma(t_{0})+\gamma(t_{1})-\gamma(\epsilon)+\gamma(t_{2})-\gamma(t_{1})
[/mm]
Jetzt ist nur noch die Frage wie ich zeigen kann, dass die ersten beiden summanden unten zusammen größer sind wie der erste oben. Wenn ich darüber nachdenke, ist mir direkt klar warum es auf jeden Fall so sein muss, zumindest solange die Funktion eine Kurve und keine Gerade ist(dann wären die beiden Summen gleich groß), aber wie ich das zeigen kann weiß ich nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok also die ersten drei summanden der ersten wären dann
> [mm]\gamma(t_{1})-\gamma(t_{0})+\gamma(t_{2})-\gamma(t_{1})+\gamma(t_{3})-\gamma(t_{2}).....[/mm]
> und die ersten 3 der zweiten
> [mm]\gamma(\epsilon)-\gamma(t_{0})+\gamma(t_{1})-\gamma(\epsilon)+\gamma(t_{2})-\gamma(t_{1})[/mm]
nein, das stimmt so nicht:
![[]](/images/popup.gif) Definition 26.12
Und nun vergleiche mal
[mm] $$\red{\;|\;}\gamma(t_\xi)-\gamma(t_0)\red{\;|\;}+\red{\;|\;}\gamma(t_1)-\gamma(t_\xi)\red{\;|\;}+\red{\;|\;}\gamma(t_2)-\gamma(t_1)\red{\;|\;}+\red{\;|\;}\gamma(t_3)-\gamma(t_2)\red{\;|\;}$$
[/mm]
mit
[mm] $$\red{\;|\;}\gamma(t_1)-\gamma(t_0)\red{\;|\;}+\red{\;|\;}\gamma(t_2)-\gamma(t_1)\red{\;|\;}+\red{\;|\;}\gamma(t_3)-\gamma(t_2)\red{\;|\;}$$
[/mm]
P.S. [mm] $|.|=\|.\|_2=\|.\|_{2,n}$ [/mm] ist die (übliche) euklidische Norm des [mm] $\IR^n\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Ja klar, die Betragsstriche, habe ich nur vergessen. Aber ich muss nun immer noch zeigen dass die ersten beiden Sumanden also die beiden mit dem [mm] \epsilon [/mm] zusammen größer wie das stück von [mm] t_{1} [/mm] bis [mm] t_{0} [/mm] ist ... wie ich bereits gesagt habe wenn ich mir die Kurve halt vorstelle ist mir völlig klar, dass eine feinere Unterteilung zu einer größeren Strecke führt wie eine gröbere Unterteilung ... aber wie ich das jetzt formal zu Papier bringen kann daran haperts, zeichnerisch könnte ich es leicht zeigen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
P.S. Damit's vielleicht ganz klar wird (ich schreibe mal der Deutlichkeit wegen
[mm] $\|.\|$ [/mm] anstatt $|.|$):
[mm] $$\|\gamma(t_1)-\gamma(t_0)\|=\|\;(\gamma(t_1)-\gamma(t_\xi))\;+\;(\gamma(t_\xi)-\gamma(t_0))\;\| \le ...\text{?}$$
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:51 So 09.06.2013 | | Autor: | Lysis |
Kann mir jemand sagen, wieso damit im Wesentlichen der allgemeine Fall bewiesen ist?
Vielen Danke schon mal!
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Hiho,
was bedeutet denn $Z [mm] \subset \overline{Z}$?
[/mm]
MFG,
Gono.
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