Beweis Urbild Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Sa 13.06.2015 | | Autor: | WIM2 |
| Aufgabe | f : X [mm] \to [/mm] Y und A [mm] \subseteq [/mm] Y, B [mm] \subseteq [/mm] Y.
Die Menge [mm] f^{-1}(A):= [/mm] { x € X | f(x) € A } [mm] \subseteqX [/mm] heißt Urbild der Menge A unter der Abbildung f.
Beweisen Sie, dass
(a) [mm] f^{-1}(A \cap [/mm] B) = [mm] f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B);
[/mm]
(b) A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \Rightarrow f^{-1}(A) \subseteq f^{-1}(B). [/mm] |
Hallo,
gleich zu Anfang, ich habe keinerlei Vorkenntnisse, um die Aufgabe zu lösen, d.h. mir ist der Typ der Aufgabe total unbekannt; leider habe ich auch noch nichts konkretes dazu gefunden. Es wäre nett, wenn mir jemand etwas behilflich sein könnte; Die Schreib-/Vorgehensweise bei "normalen" Mengenbeweisen ist mir bekannt, hier nicht..
Wie bilde ich denn das Urbild von [mm] f^{-1}?
[/mm]
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Sa 13.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> f : X [mm]\to[/mm] Y und A [mm]\subseteq[/mm] Y, B [mm]\subseteq[/mm] Y.
> Die Menge [mm]f^{-1}(A):=[/mm] { x € X | f(x) € A } [mm]\subseteqX[/mm]
> heißt Urbild der Menge A unter der Abbildung f.
>
> Beweisen Sie, dass
> (a) [mm]f^{-1}(A \cap[/mm] B) = [mm]f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B);[/mm]
> (b) A
> [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\Rightarrow f^{-1}(A) \subseteq f^{-1}(B).[/mm]
>
> Hallo,
>
> gleich zu Anfang, ich habe keinerlei Vorkenntnisse, um die
> Aufgabe zu lösen, d.h. mir ist der Typ der Aufgabe total
> unbekannt; leider habe ich auch noch nichts konkretes dazu
> gefunden. Es wäre nett, wenn mir jemand etwas behilflich
> sein könnte; Die Schreib-/Vorgehensweise bei "normalen"
> Mengenbeweisen ist mir bekannt, hier nicht..
> Wie bilde ich denn das Urbild von [mm]f^{-1}?[/mm]
Das steht doch oben:
[mm]f^{-1}(A):=[/mm] { x € X | f(x) € A } [mm]\subseteqX[/mm]
Ich mach Dir $ [mm] f^{-1}(A \cap [/mm] $ B) [mm] \subseteq [/mm] $ [mm] f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) [/mm] $ mal vor:
Sei also x [mm] \in [/mm] $ [mm] f^{-1}(A \cap [/mm] $ B). das bedeutet: f(x) [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B, also f(x) [mm] \in [/mm] A und f(x) [mm] \in [/mm] B. Somit: x [mm] \in f^{-1}(A) [/mm] und x [mm] \in f^{-1}(B)
[/mm]
So, nun zeige Du:
$ [mm] f^{-1}(A \cap [/mm] $ B) [mm] \supseteq [/mm] $ [mm] f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B); [/mm] $
FRED
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Sa 13.06.2015 | | Autor: | WIM2 |
Danke, ich habs für a) verstanden.
[mm] f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(A \cap [/mm] B) ist doch genau die gleiche Aufgabe, nur dass es hier eine Teilmenge sein soll? Wenn es = ist, ist es auch eine Teilmenge. Tut mir leid, wenn man dazu wieder eine spezielle Schreibweise kennen muss ist sie mir unbekannt. Diese Art der Aufgaben empfinde ich sowieso als sehr große Formalität..
bei [mm] A\B [/mm] nimmt man B kein Element aus A
[mm] \cap [/mm] wird zu einem und, etc.
Kann man das eigentlich auch irgendwo nachschlagen?
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 So 14.06.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke, ich habs für a) verstanden.
>
> [mm]f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(A \cap[/mm] B) ist
> doch genau die gleiche Aufgabe, nur dass es hier eine
> Teilmenge sein soll?
nein, das ist ein Teil Deiner Aufgabe. Denn wie zeigt man, dass zwei Mengen
[mm] $X\,$ [/mm] und [mm] $Y\,$ [/mm] gleich sind?
Man zeigt, dass einerseits $X [mm] \subseteq [/mm] Y$ und auch andererseits $Y [mm] \subseteq [/mm] X$ gilt.
> Wenn es = ist, ist es auch eine
> Teilmenge. Tut mir leid, wenn man dazu wieder eine
> spezielle Schreibweise kennen muss ist sie mir unbekannt.
> Diese Art der Aufgaben empfinde ich sowieso als sehr große
> Formalität..
Ich wiederhole den Beweisteil von Fred nochmal, schreibe es aber mal
noch etwas ausführlicher auf; die Voraussetzungen wiederhole ich aber
nicht alle nochmal.
Aufgabe: [mm] $f^{-1}(A \cap [/mm] B) = [mm] f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)\,.$
[/mm]
Beweis: Der Beweis läuft in zwei Teilen:
1. Teil: Wir zeigen [mm] $f^{-1}(A \cap [/mm] B) [mm] \subseteq (f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B))$.
[/mm]
2. Teil: Wir zeigen [mm] $(f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B))\subseteq f^{-1}(A \cap [/mm] B) $.
Beweisteil 1.: Zu zeigen ist: Für jedes $x [mm] \in f^{-1}(A \cap [/mm] B)$ gilt auch $x [mm] \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)\,.$
[/mm]
Sei dazu nun $x [mm] \in f^{-1}(A \cap [/mm] B)$ (mit keiner sonst weiteren signifikanten Eigenschaft
ausgestattet). Nach Definition von [mm] $f^{-1}(A \cap [/mm] B)$ gilt dann
$f(x) [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap B)\,.$
[/mm]
Nach Definition des Schnittes heißt das
$f(x) [mm] \in [/mm] A$ und $f(x) [mm] \in B\,.$
[/mm]
Nach Definition von [mm] $f^{-1}(A)$ [/mm] bzw. [mm] $f^{-1}(B)$ [/mm] bedeutet das wiederum, dass
sowohl $x [mm] \in f^{-1}(A)$ [/mm] als auch $x [mm] \in f^{-1}(B)$,
[/mm]
kurz:
$x [mm] \in f^{-1}(A)$ [/mm] und $x [mm] \in f^{-1}(B)$
[/mm]
ist.
Nach Definition des Schnittes dann
$x [mm] \in (f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B))$.
[/mm]
Fazit: Da $x [mm] \in f^{-1}(A \cap [/mm] B)$ beliebig war, bedeutet das: Für jedes (für
alle)
$x [mm] \in f^{-1}(A \cap [/mm] B)$
folgt auch
$x [mm] \in (f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B))\,.$
[/mm]
Also in der Tat
[mm] $f^{-1}(A \cap [/mm] B) [mm] \subseteq (f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B))\,.$
[/mm]
So, und nun kommen wir zum 2. Teil, ich mache Dir aber nur den Anfang
vor:
Zu zeigen ist nun
[mm] $(f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)) \subseteq f^{-1}(A \cap [/mm] B)$.
Gehen wir es an: Dazu sei nun $x [mm] \in (f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B))$. [/mm] Dann gilt
$f(x) [mm] \in [/mm] A$ und $f(x) [mm] \in B\,.$
[/mm]
Nach Definition des Schnittest bedeutet das
$f(x) [mm] \in [/mm] (... [mm] \cap [/mm] ...)$...
(Jetzt Du; der Rest sind nur noch ein paar Zeilen, maximal...)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 So 14.06.2015 | | Autor: | WIM2 |
Danke, mir war Aufgabe (a) schon klar, ich meinte Aufgabe (b), weil dort ein anderer Fall vorliegt.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 So 14.06.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke, mir war Aufgabe (a) schon klar, ich meinte Aufgabe
> (b), weil dort ein anderer Fall vorliegt.
was ist daran nun groß anders? Zu zeigen:
(b) A $ [mm] \subseteq [/mm] $ B $ [mm] \Rightarrow f^{-1}(A) \subseteq f^{-1}(B). [/mm] $
Beweis: Gelte $A [mm] \subseteq B\,.$ [/mm] Sei nun $x [mm] \in f^{-1}(A)$ [/mm] beliebig. Dann folgt
$f(x) [mm] \in [/mm] A$
nach Definition von [mm] $f^{-1}(A)\,.$
[/mm]
Jetzt benutze die Voraussetzung $A [mm] \subseteq B\,.$ [/mm] Danach schau Dir an, was
$f(x) [mm] \in [/mm] B$ mit $x [mm] \in f^{-1}(B)$ [/mm] zu tun hat, und Du bist fertig.
Gruß,
Marcel
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