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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Sa 25.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper, und sei U ein Unterraum eines endlichdimensionalen [mm] \IK-Vektorraums [/mm] V .
Sei dim(U) < dim(V) − 1.
Beweisen Sie, dass es einen Unterraum W von V gibt, so dass U ein Unterraum von W
ist, und so, dass U [mm] \not= [/mm] W [mm] \not= [/mm] V gilt. |
Hier komme ich auf keinen Ansatz, wo muss ich beginnen? Hat jemand eine Idee?
Vielen vielen Dank.
Gruß, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:14 So 26.10.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Stefan,
die Dimensionsvoraussetzungen von U im Verhältnis zu V solltest Du Dir mal ansehen. dim(U) < dim(V) - 1 heißt ja, dass zwischen U und V mindestens 2 "Dimensionen" Platz ist, besser ausgedrükt, wenn V dim(v)=n Basisvektoren hat, dann hat U höchstens n-2 Basisvektoren. Da ist also noch Platz dazwischen für einen Unterraum W mit n-1 Basisvektoren.
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 So 26.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Uli,
> die Dimensionsvoraussetzungen von U im Verhältnis zu V
> solltest Du Dir mal ansehen. dim(U) < dim(V) - 1 heißt ja,
> dass zwischen U und V mindestens 2 "Dimensionen" Platz ist,
> besser ausgedrükt, wenn V dim(v)=n Basisvektoren hat, dann
> hat U höchstens n-2 Basisvektoren. Da ist also noch Platz
> dazwischen für einen Unterraum W mit n-1 Basisvektoren.
ok, das ist ein guter Tipp, aber ich habe noch Schwierigkeiten, wie ich den Beweis gestalten soll,
entweder fällt mir was zu einfaches ein, zu wenig für einen Beweis oder aber es ist so kompliziert,
dass ich gar nicht weiß, was nun wirklich da rein gehört. Muss ich mit dem Unterraumkriterium
beginnen oder mit dem Rangsatz, mit einer Basis oder mit einem Erzeugendensystem? Wie argumentiere
ich mathematisch stringent?
Vielen Dank für die Hilfe.
Gruß, Stefan.
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> Hallo Uli,
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> > die Dimensionsvoraussetzungen von U im Verhältnis zu V
> > solltest Du Dir mal ansehen. dim(U) < dim(V) - 1 heißt ja,
> > dass zwischen U und V mindestens 2 "Dimensionen" Platz ist,
> > besser ausgedrükt, wenn V dim(v)=n Basisvektoren hat, dann
> > hat U höchstens n-2 Basisvektoren. Da ist also noch Platz
> > dazwischen für einen Unterraum W mit n-1 Basisvektoren.
> ok, das ist ein guter Tipp, aber ich habe noch
> Schwierigkeiten, wie ich den Beweis gestalten soll,
> entweder fällt mir was zu einfaches ein,
Hallo,
"Einfachkeit" ist kein k.o.-Kriterium!
Mach's mal so:
Du hast Deinen Unterraum U gegeben, und hast auch Informationen seine Dimension.
Das bedeutet, daß Du etwas über seine Basis weißt.
Schau dann den Basisergänzungssatz an und ergänze zu einer Basis des V.
Dies sollte den Stein eigentlich jetzt ins Rollen bringen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Mo 27.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Das bedeutet, daß Du etwas über seine Basis weißt.
ja, die Dimension ist ja die Anzahl der Basisvektoren, also hat U zwei Basisvektoren weniger als V, wie schon Uli schrieb.
> Schau dann den Basisergänzungssatz an und ergänze zu einer
> Basis des V.
Sei dim(V)=n, sei dim(U)<dim(V)-1=n-1, damit ist dim(W)=1 und sei V ein endlich erzeugter Vektorraum.
Seien [mm] u_{1},...,u_{n-2} [/mm] sowie [mm] w_{n-1} [/mm] linear unabhängige Vektoren in V. Dann lässt sich [mm] u_{1},...,u_{n-2},w_{n-1} [/mm] zu einer Basis von V ergänzen, das heißt, es gibt einen Vektor [mm] v_{n}, [/mm] so dass [mm] u_{1}, [/mm] ..., [mm] u_{n-2},w_{n-1} [/mm] eine Basis von V ist.
Kommt mir jetzt irgendwie lückenhaft vor, aber kann man so ansetzen?
Vielen Dank für die Rückmeldung, Gruß, Stefan.
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> Hallo,
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> > Das bedeutet, daß Du etwas über seine Basis weißt.
> ja, die Dimension ist ja die Anzahl der Basisvektoren,
> also hat U zwei Basisvektoren weniger als V, wie schon Uli
> schrieb.
Hallo,
nein, er hat mindestens 2 Basisvektoren weniger.
> > Schau dann den Basisergänzungssatz an und ergänze zu einer
> > Basis des V.
> Sei dim(V)=n, sei dim(U)<dim(V)-1=n-1, damit ist dim(W)
Huch! Wo kommt denn plötzlich W her? Was soll das sein? (Du willst doch erst zeigen, daß es diesen Vektorraum gibt)
> dim(W)=1
Warum das?
> und sei V ein endlich erzeugter Vektorraum.
Mach dann so weiter:
Sei [mm] (u_1,...,u_k) [/mm] mit [mm] k\le [/mm] n-2 eine Basis von U.
Dann gibt es Vektoren ... so, daß [mm] (u_1,...,u_k, [/mm] ???) eine Basis von V ist.
Und nun schau den Raum an, der von den Ergänzungsvektoren aufgespannt wird.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Mo 27.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> nein, er hat mindestens 2 Basisvektoren weniger.
ja, stimmt, klar.
> > Sei dim(V)=n, sei dim(U)<dim(V)-1=n-1, damit ist
> dim(W)
>
> Huch! Wo kommt denn plötzlich W her? Was soll das sein? (Du
> willst doch erst zeigen, daß es diesen Vektorraum gibt)
hm, ich dachte, W könnte ich direkt in einem verwursten, denn es soll ja letztendlich gezeigt werden, dass es einen Unterraum W von V gibt, so dass U wiederum ein Unterraum von W ist. aber ok, besser alles nach der Reihe.
> > dim(W)=1
>
> Warum das?
ich dachte, wegen meiner obigen Überlegungen, ist für W nur noch Platz für einen Basisvektor. Aber das stimmt ja nicht.
> Mach dann so weiter:
>
> Sei [mm](u_1,...,u_k)[/mm] mit [mm]k\le[/mm] n-2 eine Basis von U.
>
Dann gibt es Vektoren [mm](v_{k+1},...,v_n)[/mm] so, dass [mm](u_1,...,u_k,v_{k+1},...,v_n[/mm]) eine Basis von V ist. soweit ok?
> Und nun schau den Raum an, der von den Ergänzungsvektoren
> aufgespannt wird.
Die Ergänzungsvektoren sind [mm](v_{k+1},...,v_n[/mm]), richtig? und [mm]k\le[/mm] n-2...hm...
Jetzt weiß ich nicht, was ich mit dieser Information anfangen soll. Ich sehe, dass ich noch einen Unterraum dazwischenquetschen kann. Läuft es darauf hinaus?
Danke schön, Gruß, Stefan.
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> > Mach dann so weiter:
> >
> > Sei [mm](u_1,...,u_k)[/mm] mit [mm]k\le[/mm] n-2 eine Basis von U.
> >
> Dann gibt es Vektoren [mm](v_{k+1},...,v_n)[/mm] so, dass
> [mm](u_1,...,u_k,v_{k+1},...,v_n[/mm]) eine Basis von V ist. soweit
> ok?
Hallo,
ja, richtig.
>
> > Und nun schau den Raum an, der von den Ergänzungsvektoren
> > aufgespannt wird.
Dieser Tip war Quatsch. ich hatte eine andere Aufgabenstellung im Hinterkopf.
> Die Ergänzungsvektoren sind [mm](v_{k+1},...,v_n[/mm]), richtig?
> und [mm]k\le[/mm] n-2...hm...
> Jetzt weiß ich nicht, was ich mit dieser Information
> anfangen soll. Ich sehe, dass ich noch einen Unterraum
> dazwischenquetschen kann. Läuft es darauf hinaus?
Ja. Jetzt guckst Du [mm] ((u_1,...,u_k,v_{k+1},...,v_{n-1}) [/mm] an, nennst ihn W und zeigst, daß er alles tut, was er soll.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Mo 27.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Ja. Jetzt guckst Du [mm]((u_1,...,u_k,v_{k+1},...,v_{n-1})[/mm] an,
> nennst ihn W und zeigst, daß er alles tut, was er soll.
heißt zu zeigen, dass U [mm] \not= [/mm] W [mm] \not= [/mm] V und/oder zeigen, dass W das Unterraumkriterium erfüllt?
Danke, Gruß, Stefan.
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> > Ja. Jetzt guckst Du [mm]((u_1,...,u_k,v_{k+1},...,v_{n-1})[/mm] an,
Hallo,
ich meinte natürlich die lineare Hülle dieser Vektoren.
> > nennst ihn W und zeigst, daß er alles tut, was er soll.
> heißt zu zeigen, dass U [mm]\not=[/mm] W [mm]\not=[/mm] V
und daß [mm] U\subset W\subset [/mm] V
> dass W das Unterraumkriterium erfüllt?
Wenn Du W als die lineare Hülle definiert, kann dieser raum gar nicht anders als ein UNVR zu sein.
Allso, was hier noch zu tun ist, ist sehr einfach.
Der wahre Denkprozeß der Aufgabe lag darin, die max. Dimension von U zu finden, zu wissen, daß U eine Basis hat und diese zu ergänzen zu einer von V.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Mo 27.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> ich meinte natürlich die lineare Hülle dieser Vektoren.
die wären:
[mm] [/mm] für U und [mm] [/mm] für W und [mm] [/mm] für V?
Wie zeige ich die Teilmengenbeziehung $ [mm] U\subset W\subset [/mm] $ V , wenn doch U und W ohnehin Unterräume von V sind?
> Also, was hier noch zu tun ist, ist sehr einfach.
naja, für mich nicht.
> Der wahre Denkprozeß der Aufgabe lag darin, die max.
> Dimension von U zu finden, zu wissen, daß U eine Basis hat
> und diese zu ergänzen zu einer von V.
ohne Hilfe nicht machbar für mich...
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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> Hallo,
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> > ich meinte natürlich die lineare Hülle dieser Vektoren.
> die wären:
> [mm][/mm] für U und [mm][/mm] für W
Nein,
von diesem VR wäre ja U keine Teilmenge.
Du mußt doch [mm] W:= [/mm] nehmen.
und
> [mm][/mm] für V?
>
> Wie zeige ich die Teilmengenbeziehung [mm]U\subset W\subset[/mm] V ,
> wenn doch U und W ohnehin Unterräume von V sind?
Eigentlich ist da nix mehr zu zeigen, aber sicherheitshalber kannst Du's ja doch tun.
Nimm einen Vektor aus U, der ist 'ne Linearkombination der Basisvektoren von U, zeige, daß er auch 'ne Linearkombi der Basisvektoren von W ist.
Dann nimm einen aus W und zeige, daß er auch in U ist.
Begründe noch, warum [mm] u\not=w [/mm] und [mm] W\not=V.
[/mm]
(Zeig dazu einn Vektor vor, der in W ist und nicht in U und begründe, warum das so ist.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Mo 27.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Du mußt doch [mm]W:=[/mm] nehmen.
und U = [mm] [/mm] und V = [mm] ?
[/mm]
> Nimm einen Vektor aus U, der ist 'ne Linearkombination der
> Basisvektoren von U, zeige, daß er auch 'ne Linearkombi der
> Basisvektoren von W ist.
man sieht ja schon an der linearen Hülle, dass W zwischen U und V liegt, also U [mm] \subset [/mm] W [mm] \subset [/mm] V, oder?
wie zeige ich das formal? also etwa: u = [mm] \summe_{i=1}^{k} a_i u_i [/mm] und w = [mm]\summe_{i=1}^{k} a_i u_i[/mm] + [mm] \summe_{j=k+1}^{n-1} a_j u_j [/mm] ?
> Dann nimm einen aus W und zeige, daß er auch in U ist.
aber W ist ja größer als U, oder?
> Begründe noch, warum [mm]u\not=w[/mm] und [mm]W\not=V.[/mm]
> (Zeig dazu einn Vektor vor, der in W ist und nicht in U und
> begründe, warum das so ist.)
alle Vektoren k+1 bist n-1 sind nicht in U, meintest du das?
Ich verstehe zwar intuitiv, worum es geht, aber ich komme formal noch nicht weiter. Hast Du da nochmal einen Tip?
Besten Dank, Gruß, Stefan.
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> Hallo,
>
> > Du mußt doch [mm]W:=[/mm] nehmen.
> und U = [mm][/mm] und V =
> [mm]?[/mm]
>
> > Nimm einen Vektor aus U, der ist 'ne Linearkombination der
> > Basisvektoren von U, zeige, daß er auch 'ne Linearkombi der
> > Basisvektoren von W ist.
> man sieht ja schon an der linearen Hülle, dass W zwischen
> U und V liegt, also U [mm]\subset[/mm] W [mm]\subset[/mm] V, oder?
Hallo,
ja.
Aber man sollte zumindest auch wissen, wie man's zeigen kann.
> wie zeige ich das formal? also etwa: u = [mm]\summe_{i=1}^{k} a_i u_i[/mm]
> und w = [mm]\summe_{i=1}^{k} a_i u_i[/mm] + [mm]\summe_{j=k+1}^{n-1} a_j u_j[/mm]
> ?
Genau. So in etwa.
So genau:
Sei [mm] u\in [/mm] U. Dann gibt es [mm] a_i [/mm] mit [mm] u=\summe_{i=1}^{k} a_i u_i=\summe_{i=1}^{k} a_i u_i[/mm] [/mm] + [mm][mm] \summe_{j=k+1}^{n-1} [/mm] 0* [mm] v_j
[/mm]
==> [mm] u\in [/mm] W
Aus [mm] u\in [/mm] U folgt u [mm] \in [/mm] W, also ist [mm] U\subseteq [/mm] W.
>
> > Dann nimm einen aus W und zeige, daß er auch in U ist.
> aber W ist ja größer als U, oder?
Ja. Ich meinte eigentlich V. Daß Du zeigen sollst, daß jeder aus W auch in V liegt. (obgleich's sonnenklar ist, kann's ja nicht schaden.)
>
> > Begründe noch, warum [mm]u\not=w[/mm] und [mm]W\not=V.[/mm]
> > (Zeig dazu einn Vektor vor, der in W ist und nicht in U
> und
> > begründe, warum das so ist.)
> alle Vektoren k+1 bist n-1 sind nicht in U, meintest du
> das?
Ja. Nimm einen her, etwa [mm] v_{k+1}.
[/mm]
Begründe, warum er nicht in U ist. (Wäre er in U, dann wäre er eine Linearkombi der ersten k Vektoren. Warum kann das nicht sein?)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Mo 27.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
>Begründe, warum er nicht in U ist. (Wäre er in U, dann wäre er eine Linearkombi der ersten k Vektoren. Warum kann das nicht sein?)
weil [mm] v_{k+1} \not\in [/mm] und [mm] w_n \not\in .
[/mm]
Vielen Dank,
Gruß, Stefan.
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