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Beweis Umkehrfunktion: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 Mo 16.02.2009
Autor: AbraxasRishi

Aufgabe
Sind [mm] f:X\rightarrow [/mm] Y un [mm] g:Y\rightarrow [/mm] X Abbildungen und ist ferner [mm] fg=Id_y [/mm] un [mm] gf=Id_x, [/mm] so ist f bijektiv un [mm] f^{-1}=g.Was [/mm] zu beweisen ist!

Hallo!

Ich bin absoluter Neulig auf diesen Gebiet, deshalb kann es sein, das meine Ansätze völlig daneben sind:

Beiweis der Injektivität von f:

Seien [mm] x,x'\in [/mm] X  und f(x)=f(x').Dann ist f injektiv falls x= x'.Ich habe versucht x=g(y) und x'=g(y') zu setzen.

f(g(y))=y

f(g(y'))=y'

aufgrund [mm] fg=Id_y. [/mm]

Es entstünde also ein Wiederspruch zu f(x)=f(x') wenn [mm] y'\not=y. [/mm] Weil also y=y' gelten muss, muss auch g(y)=g(y') und somit x'=x gelten.

Beweis der Surjektivität von f:

Sei [mm] y\in [/mm] Y.Dann muss für jedes [mm] x\in [/mm] X, y=f(x) sein.Setzen wier wieder x=g(y).Also ist Aufgrund von [mm] fg=Id_y [/mm] wieder:

f(g(y))=y

Ist somit f(x)=y nachgewiesen?

Wenn f nun surjektiv und injektiv ist, so ist f auch bijektiv.Es existiert also eine Abbildung:

[mm] f^{-1}=g [/mm] : [mm] Y\rightarrow [/mm] X

Könnte mir bitte jemand sagen, ob das so stimmt?Mir fehlen leider die Korrekturmöglichkeiten...

Gruß

Angelika




        
Bezug
Beweis Umkehrfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:32 Mo 16.02.2009
Autor: statler


> Sind f: X [mm] $\rightarrow$ [/mm] Y und g: Y [mm] $\rightarrow$ [/mm] X Abbildungen und
> ist ferner [mm]fg=Id_Y[/mm] und [mm]gf=Id_X,[/mm] so ist f bijektiv und
> [mm] $f^{-1} [/mm] = g$. Was zu beweisen ist!

Hallo Angelika!

> Beiweis der Injektivität von f:
>  
> Seien [mm]x,x'\in[/mm] X  und f(x)=f(x').Dann ist f injektiv falls
> x= x'.Ich habe versucht x=g(y) und x'=g(y') zu setzen.

Dazu müßtest du aber wissen, daß g surjektiv ist, sonst gibt es diese Üpsilons evtl. nicht. Aber was ist mit g(f(x)) und g(f(x'))?

> f(g(y))=y
>  
> f(g(y'))=y'
>  
> aufgrund [mm]fg=Id_y.[/mm]
>  
> Es entstünde also ein Wiederspruch zu f(x)=f(x') wenn
> [mm]y'\not=y.[/mm] Weil also y=y' gelten muss, muss auch g(y)=g(y')
> und somit x'=x gelten.
>  
> Beweis der Surjektivität von f:
>  
> Sei [mm]y\in[/mm] Y.Dann muss für jedes [mm]x\in[/mm] X, y=f(x) sein.

Nee, soo nich! Dann muß es ein solches x geben.

> Setzen
> wier wieder x=g(y).Also ist Aufgrund von [mm]fg=Id_y[/mm] wieder:
>  
> f(g(y))=y
>  
> Ist somit f(x)=y nachgewiesen?

Das steht doch da, g(y) tut es.

> Wenn f nun surjektiv und injektiv ist, so ist f auch
> bijektiv.

> Es existiert also eine Abbildung:

[mm] $f^{-1}$, [/mm] die eindeutig bestimmt ist

> [mm]f^{-1}=g[/mm] : [mm]Y\rightarrow[/mm] X

und die deswegen gleich g sein muß!

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

Bezug
                
Bezug
Beweis Umkehrfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 Mo 16.02.2009
Autor: AbraxasRishi

Vielen Dank Statler!

> > Sind f: X [mm]\rightarrow[/mm] Y und g: Y [mm]\rightarrow[/mm] X Abbildungen
> und
> > ist ferner [mm]fg=Id_Y[/mm] und [mm]gf=Id_X,[/mm] so ist f bijektiv und
> > [mm]f^{-1} = g[/mm]. Was zu beweisen ist!
>  
> Hallo Angelika!
>  
> > Beiweis der Injektivität von f:
>  >  
> > Seien [mm]x,x'\in[/mm] X  und f(x)=f(x').Dann ist f injektiv falls
> > x= x'.Ich habe versucht x=g(y) und x'=g(y') zu setzen.
>
> Dazu müßtest du aber wissen, daß g surjektiv ist, sonst
> gibt es diese Üpsilons evtl. nicht. Aber was ist mit
> g(f(x)) und g(f(x'))?

Es muss also auch g(f(x))=g(f(x')) sein.Und aufgrund [mm] fg=Id_Y [/mm] auch g(f(x)) =x und g(f(x'))=x'.Deshalb führt es zu einem Wiederspruch wenn [mm] x'\not=x. [/mm]

>  
> > f(g(y))=y
>  >  
> > f(g(y'))=y'
>  >  
> > aufgrund [mm]fg=Id_y.[/mm]
>  >  
> > Es entstünde also ein Wiederspruch zu f(x)=f(x') wenn
> > [mm]y'\not=y.[/mm] Weil also y=y' gelten muss, muss auch g(y)=g(y')
> > und somit x'=x gelten.
>  >  
> > Beweis der Surjektivität von f:
>  >  
> > Sei [mm]y\in[/mm] Y.Dann muss für jedes [mm]x\in[/mm] X, y=f(x) sein.
>  
> Nee, soo nich! Dann muß es ein solches x geben.

Sei [mm]y\in[/mm] Y.Dann gibt es ein [mm] x\in [/mm] X sodass y=f(x).Richtig?

>  
> > Setzen
> > wier wieder x=g(y).Also ist Aufgrund von [mm]fg=Id_y[/mm] wieder:
>  >  
> > f(g(y))=y
>  >  
> > Ist somit f(x)=y nachgewiesen?
>  
> Das steht doch da, g(y) tut es.
>  
> > Wenn f nun surjektiv und injektiv ist, so ist f auch
> > bijektiv.
>  
> > Es existiert also eine Abbildung:
>  
> [mm]f^{-1}[/mm], die eindeutig bestimmt ist
>  
> > [mm]f^{-1}=g[/mm] : [mm]Y\rightarrow[/mm] X
>  
> und die deswegen gleich g sein muß!
>  
> Gruß aus HH-Harburg

Gruß

Angelika

>  Dieter


Bezug
                        
Bezug
Beweis Umkehrfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 Mo 16.02.2009
Autor: fred97


> Vielen Dank Statler!
>  
> > > Sind f: X [mm]\rightarrow[/mm] Y und g: Y [mm]\rightarrow[/mm] X Abbildungen
> > und
> > > ist ferner [mm]fg=Id_Y[/mm] und [mm]gf=Id_X,[/mm] so ist f bijektiv und
> > > [mm]f^{-1} = g[/mm]. Was zu beweisen ist!
>  >  
> > Hallo Angelika!
>  >  
> > > Beiweis der Injektivität von f:
>  >  >  
> > > Seien [mm]x,x'\in[/mm] X  und f(x)=f(x').Dann ist f injektiv falls
> > > x= x'.Ich habe versucht x=g(y) und x'=g(y') zu setzen.
> >
> > Dazu müßtest du aber wissen, daß g surjektiv ist, sonst
> > gibt es diese Üpsilons evtl. nicht. Aber was ist mit
> > g(f(x)) und g(f(x'))?
>  
> Es muss also auch g(f(x))=g(f(x')) sein.Und aufgrund
> [mm]fg=Id_Y[/mm] auch g(f(x)) =x und g(f(x'))=x'.Deshalb führt es zu
> einem Wiederspruch wenn [mm]x'\not=x.[/mm]


O.K.




>  >  
> > > f(g(y))=y
>  >  >  
> > > f(g(y'))=y'
>  >  >  
> > > aufgrund [mm]fg=Id_y.[/mm]
>  >  >  
> > > Es entstünde also ein Wiederspruch zu f(x)=f(x') wenn
> > > [mm]y'\not=y.[/mm] Weil also y=y' gelten muss, muss auch g(y)=g(y')
> > > und somit x'=x gelten.
>  >  >  
> > > Beweis der Surjektivität von f:
>  >  >  
> > > Sei [mm]y\in[/mm] Y.Dann muss für jedes [mm]x\in[/mm] X, y=f(x) sein.
>  >  
> > Nee, soo nich! Dann muß es ein solches x geben.
>  
> Sei [mm]y\in[/mm] Y.Dann gibt es ein [mm]x\in[/mm] X sodass y=f(x).Richtig?


Nutze doch $ [mm] fg=Id_Y [/mm] $ aus !!

Für y [mm] \in [/mm] Y gilt dann: f(g(y)) = y. Setze x = g(y)



FRED



>  
> >  

> > > Setzen
> > > wier wieder x=g(y).Also ist Aufgrund von [mm]fg=Id_y[/mm] wieder:
>  >  >  
> > > f(g(y))=y
>  >  >  
> > > Ist somit f(x)=y nachgewiesen?
>  >  
> > Das steht doch da, g(y) tut es.
>  >  
> > > Wenn f nun surjektiv und injektiv ist, so ist f auch
> > > bijektiv.
>  >  
> > > Es existiert also eine Abbildung:
>  >  
> > [mm]f^{-1}[/mm], die eindeutig bestimmt ist
>  >  
> > > [mm]f^{-1}=g[/mm] : [mm]Y\rightarrow[/mm] X
>  >  
> > und die deswegen gleich g sein muß!
>  >  
> > Gruß aus HH-Harburg
>  
> Gruß
>  
> Angelika
>  >  Dieter
>  


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