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Hallo,
zur Aufgabe
Sei f: M [mm] \to [/mm] N eine Funktion und seien C und D Teilmengen von N:
Beweisen Sie:
a) [mm] f^{-1} [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D) = [mm] f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)
[/mm]
y [mm] \in f^{-1}(C) \vee f^{-1}(D) [/mm]
[mm] \exists [/mm] ein x aus C mit [mm] f^{-1} [/mm] = y [mm] \vee \exists [/mm] ein x aus D mit [mm] f^{-1}=y [/mm]
[mm] \exists [/mm] ein x aus C [mm] \cup [/mm] D mit f(x)=y
somit ist y ein Element der Menge [mm] f^{-1} [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D)
Kann mir jemand helfen und sagen, ob das was ich geschrieben habe richtig ist.
LG Batista
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Do 22.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Batista!
> Hallo,
> zur Aufgabe
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> Sei [mm]f: M \to N[/mm] eine Funktion und seien C und D Teilmengen von N:
> Beweisen Sie:
> a) [mm]f^{-1} (C \cup D) = f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)[/mm]
>
> [mm]y \in f^{-1}(C) \vee f^{-1}(D)[/mm]
> [mm]\exists[/mm] ein x aus C mit [mm]f^{-1} = y \vee \exists[/mm] ein x aus
> D mit [mm]f^{-1}=y[/mm]
> [mm]\exists[/mm] ein x aus [mm]C \cup D [/mm] mit f(x)=y
> somit ist y ein Element der Menge [mm]f^{-1} (C \cup D)[/mm]
>
> Kann mir jemand helfen und sagen, ob das was ich
> geschrieben habe richtig ist.
Da hast du Urbild und inverse Funktion durcheinander geworfen. Die erste Zeile ist ok, du nimmst dir ein Element
[mm] y \in f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)[/mm]
[mm] $f^{-1}(C)$ [/mm] ist das Urbild von C unter f, das bedeutet aber nicht, dass die inverse Funktion [mm] $f^{-1}$ [/mm] überhaupt existiert. [mm] $f^{-1}(C)$ [/mm] ist die Menge aller Punkte aus $M$, die von f auf ein Element von C abgebildet werden:
[mm] f^{-1}(C) = \{ x\in M \mid f(x) \in C\}[/mm]
Also ist
[mm] f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D) = \{ x\in M \mid f(x) \in C\} \cup \{ x\in M \mid f(x) \in D\} [/mm]
und die Aussage $y [mm] \in f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)$ [/mm] bedeutet, dass [mm] $f(y)\in [/mm] C$ oder [mm] $f(y)\in [/mm] D$:
[mm] y \in f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D) \implies f(y)\in C \vee f(y)\in D \gdw f(y) \in C\cup D [/mm]
Und weiter:
[mm] f(y) \in C\cup D \implies y \in \{ x\in M \mid f(x) \in C\cup D \} = f^{-1}(C\cup D) [/mm]
Also ist gezeigt, dass
[mm] y \in f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D) \implies y \in f^{-1}(C\cup D) [/mm],
und das heisst
[mm] f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D) \subseteq f^{-1}(C\cup D) [/mm].
Um die Gleichheit zu zeigen, musst du die Schlusskette umkehren, also auch noch zeigen, dass
[mm] y \in f^{-1}(C\cup D) \implies y \in f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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