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Forum "Lineare Abbildungen" - Beweis Teilkörper
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Beweis Teilkörper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 So 28.10.2012
Autor: macpersil

Aufgabe
Zeigen Sie, dass K={x+y* [mm] \wurzel{2} \in \IR [/mm] | x,y [mm] \in \IQ} [/mm] ein Teilkörper von [mm] \IR [/mm] ist.

so weit habe ich gezeigt, dass (K,+) eine Untergruppe von (R,+) ist und dass (K \ {0}, *) Untergruppe von [mm] (\IR [/mm] \ {0}, *) ist. (Ich hoffe genau das gilt es zu Zeigen...) Ich habe für jeden dieser zwei Unterpunkte gezeigt, dass das Neutralelement  [mm] \in [/mm] K ist, K abgeschlossen ist und dass wenn x [mm] \in [/mm] K dann auch [mm] x^{-1} \in [/mm] K (das ist doch richtig oder habe ich etwas vergessen?). An einer Stelle habe ich allerdings Probleme und zwar bei dem finden der Inversen in der Untergruppe (K \ {0}, *) ich habe folgendes aufgeschrieben:

a [mm] \in [/mm] K [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] K
[mm] \Rightarrow (x+y\wurzel{2})*(x+y\wurzel{2})^{-1} [/mm]

[mm] \Rightarrow \bruch{1}{(x+y\wurzel{2})} [/mm] * [mm] (x+y\wurzel{2}) [/mm] = 1

Daraus ist zwar ersichtlich, dass es 1 ergibt und dass ich das Inverse Element gefunden habe, allerdings ist nicht ersichtlich, dass das inverse Element tatsächlich [mm] \in \IQ [/mm] ist oder? Wie kann ich das zeigen?

VIELEN DANK!!!


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweis Teilkörper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 So 28.10.2012
Autor: tobit09

Hallo macpersil und herzlich [willkommenmr]!


>  so weit habe ich gezeigt, dass (K,+) eine Untergruppe von
> (R,+) ist und dass (K \ {0}, *) Untergruppe von [mm](\IR[/mm] \ {0},
> *) ist. (Ich hoffe genau das gilt es zu Zeigen...)

Ja, genau.

> Ich habe
> für jeden dieser zwei Unterpunkte gezeigt, dass das
> Neutralelement  [mm]\in[/mm] K ist, K abgeschlossen ist und dass
> wenn x [mm]\in[/mm] K dann auch [mm]x^{-1} \in[/mm] K (das ist doch richtig
> oder habe ich etwas vergessen?).

Alles korrekt.


> An einer Stelle habe ich
> allerdings Probleme und zwar bei dem finden der Inversen in
> der Untergruppe (K \ {0}, *) ich habe folgendes
> aufgeschrieben:
>  

Zu zeigen:

> a [mm]\in[/mm] [mm] K\red{\setminus\{0\}}[/mm]  [mm]\Rightarrow a^{-1} \in[/mm] K

>  [mm]\Rightarrow (x+y\wurzel{2})*(x+y\wurzel{2})^{-1}[/mm]

Was will uns diese Zeile sagen? Da steht einfach nur: [mm] "$\Rightarrow [/mm] 1$".

> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{(x+y\wurzel{2})}[/mm] * [mm](x+y\wurzel{2})[/mm] =
> 1
>  
> Daraus ist zwar ersichtlich, dass es 1 ergibt und dass ich
> das Inverse Element gefunden habe, allerdings ist nicht
> ersichtlich, dass das inverse Element tatsächlich [mm]\in \IQ[/mm]
> ist oder? Wie kann ich das zeigen?

Natürlich gibt es in [mm] $\IR$ [/mm] zu [mm] $a=x+y\wurzel2\in K\setminus\{0\}$ [/mm] ein Inverses Element [mm] $a^{-1}=\bruch1{x+y\wurzel2}\in\IR$. [/mm] Damit [mm] $K\setminus\{0\}$ [/mm] tatsächlich als Untergruppe identifiziert wird, ist [mm] $a^{-1}=\bruch1{x+y\wurzel2}\in K\setminus\{0\}$ [/mm] zu zeigen. In [mm] $\IQ$ [/mm] muss und wird [mm] $a^{-1}$ [/mm] dagegen i.A. nicht liegen.

Zeige [mm] $x-y\wurzel2\not=0$ [/mm] (hier benötigst du [mm] $a\not=0$) [/mm] und erweitere mit dieser Zahl [mm] $x-y\wurzel2$: [/mm]

     [mm] $a^{-1}=\bruch1{x+y\wurzel2}=\bruch{x-y\wurzel 2}{(x+y\wurzel2)(x-y\wurzel2)}=\ldots$. [/mm]

Rechne weiter, bis du [mm] $a^{-1}\in K\setminus\{0\}$ [/mm] sehen kannst.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Beweis Teilkörper: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:38 So 28.10.2012
Autor: macpersil

>tatsächlich als Untergruppe identifiziert wird, ist  zu  >zeigen. In [mm] \IQ [/mm] muss und wird  dagegen i.A. nicht liegen.

oww ich meinte natürlich [mm] a^{-1} [/mm] wird in K liegen mit x und y aus [mm] \IQ [/mm]

hmm also wenn ich den erweiterten bruch weiter rechne komme ich auf:

[mm] \bruch{x-y\wurzel{2}}{x^{2} +x xy \wurzel{2}+(y\wurzel{2})^{2}} [/mm]  aber wie hilft mir das weiter?



Bezug
                        
Bezug
Beweis Teilkörper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:39 So 28.10.2012
Autor: macpersil

ich meine natürlich
[mm] \bruch{x-y\wurzel{2}}{x^{2} +2 xy \wurzel{2}+(y\wurzel{2})^{2}} [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Beweis Teilkörper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:46 So 28.10.2012
Autor: tobit09


> ich meine natürlich
> [mm]\bruch{x-y\wurzel{2}}{x^{2} +2 xy \wurzel{2}+(y\wurzel{2})^{2}}[/mm]

Bitte stelle auch Rückfragen als Fragen, nicht als Mitteilungen.

Da hast du dich im Nenner verrechnet. Probier es einfach noch einmal. Stichwort: 3. binomische Formel.


Bezug
                                        
Bezug
Beweis Teilkörper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 So 28.10.2012
Autor: macpersil

oh du hast mit [mm] x-y\wurzel{2} [/mm] erweitert... das hatte ich übersehen.

dann sieht es glaube ich so aus:

[mm] \bruch{x-y\wurzel{2}}{x^{2}-(y\wurzel{2})^{2}}= \bruch{1}{x-y\wurzel{2}} [/mm]

hmm aber was sagt mir das?

Bezug
                                                
Bezug
Beweis Teilkörper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 So 28.10.2012
Autor: tobit09


> dann sieht es glaube ich so aus:
>  
> [mm]\bruch{x-y\wurzel{2}}{x^{2}-(y\wurzel{2})^{2}}= \bruch{1}{x-y\wurzel{2}}[/mm]

Der linke Ausdruck stimmt, der rechte Ausdruck nicht.

> hmm aber was sagt mir das?

Wir haben

     [mm] $a^{-1}=\ldots=\bruch{x-y\wurzel{2}}{x^{2}-(y\wurzel{2})^{2}}=\bruch{x-y\wurzel{2}}{x^{2}-2y^2}=\underbrace{\bruch{x}{x^{2}-2y^2}}_{\in\IQ}+\underbrace{\bruch{-y}{x^{2}-2y^2}}_{\in\IQ}\wurzel2\in [/mm] K$.

Der Sinn der Erweiterung mit [mm] $x-y\wurzel2$ [/mm] war, durch Anwendung der dritten binomischen Formel die Wurzel aus dem Nenner zu kriegen.

Bezug
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