Beweis Teilbarkeit Primzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 So 24.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Es seien a, b [mm] \in \IZ. [/mm] Beweisen Sie, dass gilt:
a | b [mm] \gdw n_{p}(a) \le n_{p}(b), \forall [/mm] p [mm] \in \IP [/mm] |
Guten Tag und frohe Ostern,
hab mich an diesem Beweis mal versucht. Würde mich freuen, wenn jemand mal drüber schauen würde. Also:
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Es gelte a | b d.h es existiert ein c [mm] \in \IZ [/mm] mit b = a*c. Nach dem Fundamentalsatz der Zahlentheorie gilt:
a = sign(a)* [mm] \produkt_{p \in \IP}p^{n_{p}(a)} [/mm] und c = sign(c)* [mm] \produkt_{p \in \IP}p^{n_{p}(c)}. [/mm] Einsetzen liefert: b = sign(c)* sign(a)* [mm] \produkt_{p \in \IP}p^{n_{p}(a)+ n_{p}(c)}. [/mm] Dann gilt, [mm] n_{p}(b) [/mm] = [mm] n_{p}(a)+n_{p}(c) [/mm] und somit [mm] n_{p}(a) \le n_{p}(b).
[/mm]
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Es gelte [mm] n_{p}(a) \le n_{p}(b) \gdw \exists x_{p} \in \IN: n_{p}(b) [/mm] = [mm] n_{p}(a)+x_{p} [/mm] für alle p [mm] \in \IP. [/mm] Weiter gilt: b = sign(b) *
[mm] p_{1}^{n_{1}}*...*p_{k}^{n_{k}} [/mm] = [mm] sign(b)*p_{1}^{n_{p1}(a)}*p_{1}^{x_{p1}}*...*p_{k}^{n_{pk}(a)}*p_{k}^{x_{pk}} [/mm] =
[mm] (sign(b)*p_{1}^{x_{p1}}*..*p_{k}^{x_{pk}})*(\pm [/mm] a) d.h a | b.
Stimmt der Beweis so? Was ist falsch? Was kann man verbessern? Freue mich über jede Hilfe.
LG Loriot95
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Hallo Loriot95,
vorab: da gibt es ein paar komische Adressen mitten in der Zitierung Deines letzten Beitrags. Ich denke, es ist auch so verständlich. Darum lasse ich das mal stehen; es könnte helfen, einen Programmfehler im Forum zu finden. Pardon.
offenbar kann oder mag sich niemand Deines Beweises erbarmen. Ich schau gern mal drüber, bin aber nicht so gut darin, Dinge "sauber" aufzuschreiben. Vielleicht hilfts Dir trotzdem, schaun wir mal:
> Es seien a, b [mm]\in \IZ.[/mm] Beweisen Sie, dass gilt:
> a | b [mm]\gdw n_{p}(a) \le n_{p}(b), \forall[/mm] p [mm]\in \IP[/mm]
> Guten
> Tag und frohe Ostern,
>
> hab mich an diesem Beweis mal versucht. Würde mich freuen,
> wenn jemand mal drüber schauen würde. Also:
>
> [mm]" \rightarrow":$"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" \rightarrow":"="">(\Rightarrow) Es gelte a | b d.h es existiert ein c ![$\in \IZ[/mm]
</font>
<br>
<font class=]() > mit b = a*c. Nach dem Fundamentalsatz der Zahlentheorie
> gilt:
> a = sign(a)* [mm]\produkt_{p \in \IP}p^{n_{p}(a)}[/mm] und c =
> sign(c)* [mm]\produkt_{p \in \IP}p^{n_{p}(c)}.[/mm]
Wobei [mm] n_p(a), n_p(c)\in\IN_0. [/mm] Muss man vielleicht nicht erwähnen, schaden kanns aber nicht.
> Einsetzen
> liefert: b = sign(c)* sign(a)* [mm]\produkt_{p \in \IP}p^{n_{p}(a)+ n_{p}(c)}.[/mm]
> Dann gilt [mm]n_{p}(b)[/mm] = [mm]n_{p}(a)+n_{p}(c)[/mm] und somit [mm]n_{p}(a) \le n_{p}(b).[/mm]
(evtl. noch, da [mm] n_p(c)\ge{0}. [/mm] Unnötig, wenn Du meinen Zusatz oben eingefügt hast).
Sonst alles gut. Soweit also die Hinrichtung.
> [mm]" \leftarrow":$"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" \leftarrow":"=""> Es gelte ![$n_{p}(a) \le n_{p}(b) \gdw \exists x_{p} \in \IN: n_{p}(b)[/mm]=[mm]n_{p}(a)+x_{p}[/mm] für alle p [mm]\in \IP.[/mm]
</font>
<br>
<font class=]() > Weiter gilt: [mm] b=\sign(b)*[/mm] [mm]p_{1}^{n_{1}}*...*p_{k}^{n_{k}}[/mm] =
> [mm]sign(b)*p_{1}^{n_{p1}(a)}*p_{1}^{x_{p1}}*...*p_{k}^{n_{pk}(a)}*p_{k}^{x_{pk}}[/mm]
> =[mm](sign(b)*p_{1}^{x_{p1}}*..*p_{k}^{x_{pk}})*(\pm[/mm] a)
> d.h $ a|b $.
Die Benennung der Exponenten geht hier etwas durcheinander. Bleib bei Deinen eingeführten Variablenbenennungen und Indizes. Auch störend ist das [mm] \pm [/mm] vor dem a, besser einfach |a| oder ggf. [mm] \sign(a)*a, [/mm] was das gleiche ist. Insgesamt also:
Es gelte ... (wie oben)
Weiter gilt: [mm] b=\sign(b)*p^{n_{p1}(b)}*\cdots*p_k^{n_{pk}(b)}=
[/mm]
[mm] \cdots [/mm] (nächste Zeile wie oben)
[mm] =((\sign(b)*p_q^{x_{p1}}*\cdots*p_k^{x_{pk}})*\sign(a))*a
[/mm]
> Stimmt der Beweis so? Was ist falsch? Was kann man
> verbessern? Freue mich über jede Hilfe.
Ich denke übrigens, dass es genügt, einen allgemeinen Primfaktor zu betrachten. Das macht den Beweis insgesamt übersichtlicher und kürzer.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:41 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Danke schön :)
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