Beweis Symmetrie Digammafunk. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:09 Sa 09.06.2012 | | Autor: | lyx |
Hallo an alle,
ich habe folgende Frage in keinen anderen Forum gestellt.
Ich habe folgende gegebene Funktion
f(x) = [mm] \frac{I s}{4dh}[ \Psi(\frac{p-x}{d}+\frac{hI}{d}+n)-\Psi(\frac{p-x}{d}+\frac{hI}{d}) -\Psi(\frac{p-x}{d}-\frac{hI}{d}+n)+\Psi(\frac{p-x}{d}-\frac{hI}{d})]
[/mm]
wobei [mm] \Psi [/mm] die Digammafunktion ist und I die komplexe Einheit. Ferner ist s [mm] \in \IR_+ [/mm] , d [mm] \in \IR_+, [/mm] h [mm] \in \IR_+ [/mm] und n [mm] \in \IN [/mm]
Ich möchte zeigen, dass f(x) Achsensymmetrisch bezüglich der Geraden
[mm] x=\overline{p} [/mm] := p + [mm] (n-1)\frac{d}{2}
[/mm]
ist.
Bekanntlich muss gezeigt werden, dass [mm] f(\overline{p}-x) [/mm] = [mm] f(\overline{p}+x) [/mm] gilt.
[mm] f(\overline{p}-x) =\frac{I s}{4dh}[ \Psi(\frac{n+1}{2}+\frac{x}{d}+\frac{hI}{d}) [/mm] - [mm] \Psi(-\frac{n-1}{2}+\frac{x}{d}+\frac{hI}{d}) [/mm] - [mm] \Psi(\frac{n+1}{2}+\frac{x}{d}-\frac{hI}{d})+\Psi(-\frac{n-1}{2}+\frac{x}{d}-\frac{hI}{d})]
[/mm]
[mm] f(\overline{p}+x) [/mm] = [mm] \frac{I s}{4dh}[\Psi(\frac{n+1}{2}-\frac{x}{d}+\frac{hI}{d}) [/mm] - [mm] \Psi(-\frac{n-1}{2}-\frac{x}{d}+\frac{hI}{d}) [/mm] - [mm] \Psi(\frac{n+1}{2}-\frac{x}{d}-\frac{hI}{d})+\Psi(-\frac{n-1}{2}-\frac{x}{d}-\frac{hI}{d})]
[/mm]
Da für die Digammafunktion gilt [mm] \Psi(\overline{z})=\overline{\Psi(z)}, [/mm] kann ich Schreiben:
[mm] f(\overline{p}-x) [/mm] = [mm] \frac{I s}{4dh}[ \Psi(\frac{n+1}{2}+\frac{x}{d}+\frac{hI}{d}) [/mm] - [mm] \overline{ \Psi(\frac{n+1}{2}+\frac{x}{d}+\frac{hI}{d})} [/mm] + [mm] \Psi(-\frac{n-1}{2}+\frac{x}{d}-\frac{hI}{d}) [/mm] - [mm] \overline{\Psi(-\frac{n-1}{2}+\frac{x}{d}-\frac{hI}{d})}]
[/mm]
[mm] f(\overline{p}+x) [/mm] = [mm] \frac{I s}{4dh}[\Psi(\frac{n+1}{2}-\frac{x}{d}+\frac{hI}{d}) [/mm] - [mm] \overline{ \Psi(\frac{n+1}{2}-\frac{x}{d}+\frac{hI}{d})} [/mm] + [mm] \Psi(-\frac{n-1}{2}-\frac{x}{d}-\frac{hI}{d}) [/mm] - [mm] \overline{\Psi(-\frac{n-1}{2}-\frac{x}{d}-\frac{hI}{d})}]
[/mm]
und weiß somit, dass die Imaginäranteile für [mm] f(\overline{p}-x) [/mm] und [mm] f(\overline{p}-x) [/mm] verschwinden. Ab hier komm ich nicht weiter!
Meine Frage ist also wie ich noch zeigen kann, dass die Realanteile von [mm] f(\overline{p}-x) [/mm] und [mm] f(\overline{p}-x) [/mm] gleich sind ?
Gibt es noch eine andere (einfachere) Beweisführung als ich sie hier versuche?
ich danke euch schonmal für eure Hilfe
viele Grüße
lyx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 10.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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