Beweis Surjektivität < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Do 07.11.2013 | | Autor: | mart1n |
| Aufgabe | Zeigen Sie, das folgende Abbildung surjektiv ist:
f: [mm] NxN\rightarrow [/mm] Z, (m, n) [mm] \mapsto m^2 [/mm] - [mm] n^2 [/mm] |
Stehe bei dieser Aufgabe gerade ziehmlich auf dem Schlauch. Die Abbildung von RxR nach Z wäre surjektiv, aber wie beweise ich, dass es möglich ist, alle Elemente aus Z aus Tupeln von NxN zu treffen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Do 07.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
terlege [mm] m^2-n^2 [/mm] mit dem bin Satz., dann nimm ein belibiges Elemenz aus [mm] \IZ [/mm] und zeige dass du es durh Wahl von n,m treffen kannst.
17=(9-8()*(9+8); -17=(8-9)*8+9)
Du musst lernen mit Aufgaben "rumzuspielen! d.h. was ausprobieren! sonst bleibst du immer fragend. Mathe hat auch was mit Kreativität zu tun!
Gruss leduart
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> Hallo
> terlege [mm]m^2-n^2[/mm] mit dem bin Satz., dann nimm ein belibiges
> Elemenz aus [mm]\IZ[/mm] und zeige dass du es durh Wahl von n,m
> treffen kannst.
> 17=(9-8()*(9+8); -17=(8-9)*8+9)
> Du musst lernen mit Aufgaben "rumzuspielen! d.h. was
> ausprobieren! sonst bleibst du immer fragend. Mathe hat
> auch was mit Kreativität zu tun!
> Gruss leduart
Das zwar schon, und für ungerade Zahlen ist das auch "leicht" festzustellen, aber hast du einen Tipp für gerade Zahlen?
Ich stehe vermutlich auf dem Schlauch, aber für 6 fällt mir z.B. nichts ein:
Als Produkt von zwei Zahlen gibt es nur zwei Varianten:
$1*6 [mm] \Rightarrow [/mm] m-n = 1$ (wäre die Differenz 6, müsste die Summe 1 sein, das geht aber nicht), aber die Differenz zweier aufeinander folgender Quadratzahlen ist eine ungerade Zahl.
$ [mm] \Rightarrow$ [/mm] kann also nicht sein.
$2*3 [mm] \Rightarrow$ [/mm] egal ob $m-n=2$ und $m+n=3$ oder umgekehrt, die Addition der beiden Gleichungen gibt jeweils die Forderung $m=2,5$.
Auch logisch ist das für mich klar, weil m und n keine benachbarten Zahlen sein können, muss der Abstand der beiden mind. 2 sein. Der kleinste Abstand zweier Quadratzahlen von Zahlen mit mind. Abstand 2 ist aber 8 und damit komme ich auf keine Lösung für z=6.
Das verwirrt mich und bestimmt mache ich einen ganz blöden Anfängerfehler...
(Ich weiß, ich habe die Frage nicht gestellt, aber ich finde sie sehr interessant.)
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Abbildung $f: [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN \Rightarrow \IZ$, [/mm] definiert durch $(m,n) [mm] \mapsto m^2-n^2$ [/mm] surjektiv ist. |
Mich interessiert das jetzt doch so, dass ich das gerne noch einmal als Frage formulieren möchte (Die Aufgabe ist nur die Wiederholung aus der Originalfrage von mart1n, der nachfolgende Text genau meine vorherige Mitteilung).
> Hallo
> terlege $ [mm] m^2-n^2 [/mm] $ mit dem bin Satz., dann nimm ein belibiges
> Elemenz aus $ [mm] \IZ [/mm] $ und zeige dass du es durh Wahl von n,m
> treffen kannst.
> 17=(9-8()*(9+8); -17=(8-9)*8+9)
> Du musst lernen mit Aufgaben "rumzuspielen! d.h. was
> ausprobieren! sonst bleibst du immer fragend. Mathe hat
> auch was mit Kreativität zu tun!
> Gruss leduart
Das zwar schon, und für ungerade Zahlen ist das auch "leicht" festzustellen, aber hast du einen Tipp für gerade Zahlen?
Ich stehe vermutlich auf dem Schlauch, aber für 6 fällt mir z.B. nichts ein:
Als Produkt von zwei Zahlen gibt es nur zwei Varianten:
$ [mm] 1\cdot{}6 \Rightarrow [/mm] m-n = 1 $ (wäre die Differenz 6, müsste die Summe 1 sein, das geht aber nicht), aber die Differenz zweier aufeinander folgender Quadratzahlen ist eine ungerade Zahl.
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ kann also nicht sein.
$ [mm] 2\cdot{}3 \Rightarrow [/mm] $ egal ob $ m-n=2 $ und $ m+n=3 $ oder umgekehrt, die Addition der beiden Gleichungen gibt jeweils die Forderung $ m=2,5 $.
Auch logisch ist das für mich klar, weil m und n keine benachbarten Zahlen sein können, muss der Abstand der beiden mind. 2 sein. Der kleinste Abstand zweier Quadratzahlen von Zahlen mit mind. Abstand 2 ist aber 8 und damit komme ich auf keine Lösung für z=6.
Das verwirrt mich und bestimmt mache ich einen ganz blöden Anfängerfehler...
(Ich weiß, ich habe die Frage nicht gestellt, aber ich finde sie sehr interessant.)
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> Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm]f: \IN x \IN \Rightarrow \IZ[/mm],
> definiert durch [mm](m,n) \mapsto m^2-n^2[/mm] surjektiv ist.
Hallo,
ich war hier vor ein paar Tagen auch stutzig geworden, hab's dann aber vergessen.
Die Abbildung ist nicht surjektiv, Du hast gezeigt, daß die 6 nicht im Bild ist,
ich sag: die 2 ist nicht im Bild.
[mm] 2=m^2-n^2=(m+n)*(m-n), [/mm] woraus m=1.5 folgt.
Und wenn wir aus [mm] \IZ\times\IZ [/mm] heraus abbilden, nützt das auch nichts.
LG Angela
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Danke!
Ich war so verwirrt, weil 1. die Aufgabe so klar formuliert ist (statt z. B. "Untersuchen Sie ... auf Surjektivität" o. ä.) und weil 2. Leduart geschrieben hat, es sei leicht durch ausprobieren rauszufinden.
lg weightgainer
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