Beweis: Summe kollin. Punkte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Mi 16.04.2008 | | Autor: | m_s |
| Aufgabe | Es seien a1; a2; a3; a4 nicht kollineare und paarweise verschie-
dene Punkte in einem zweidimensionalen Vektorraum V . Für
1<=i <= j<= 4 sei Lij die Gerade durch ai und aj .
Zeige, dass die folgenden Aussagen Äaquivalent sind:
(1) Die Geraden L12 und L34 sowie die Geraden L14 und L23
sind parallel.
(2) a2 + a4 = a1 + a3 . |
Hallo,
Graphisch ist es kein Problem dies darzustellen.
Generell, behandeln wir Gerade das Thema Affine Geometrie.
Durch Parallelität, weiß ich dass jeweils
a1, a4
a1, a2
a3, a2
a3, a4 kollinear sind. (weiß aber nicht ob dies nützlich ist)
Kann ich die Geraden als affinen Unterraum ansehen? Dann könnte ich sie auch so beschreiben.
a1+(a4-a1)
a1+(a2-a1)
a3+(a2-a3)
a3+(a4-a3) (komme damit aber auch nicht mehr weiter)
Vielleicht könnte mir jemand helfen und mit einen Ansatz zeigen bzw. einen Tipp wie ich den Beweis angehen kann.
mfg michael
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Die Hin-Richtung der Äquivalenz sollte nicht zu schwer sein: Wenn du dir dir Voraussetzungen ansiehst, wirst du feststellen, dass damit genau ein Parallelogramm beschrieben wird. Du kannst sogar o.B.d.A. davon ausgehen, dass z.B. [mm] a_1 [/mm] im Nullpunkt liegt, da ja [mm]a_i = a_1 + (a_i - a_1)[/mm], so dass das erfüllt ist, wenn man überall [mm] a_1 [/mm] abzieht.
Die Rück-Richtung ist aber auch nicht schwer. Hier ist zu beachten, dass 2 Geraden parallel sind, wenn die sie erzeugenden Richtungsvektoren linear abhängig sind (hier sind sie sogar gleich, einfach die gegebene Gleichung entsprechend umformen).
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