Beweis Stetigkeit x^{3} < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Di 14.07.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | | Beweisen Sie die Stetigkeit der Funktion f(x) [mm] =x^{3} [/mm] an der Stelle x0=0 |
Ich weiss dass diese Antwort vermutlich sehr simpel ist, dennoch weiss ich nciht wie ich genau Vorgehen muss:
folgende Ideen habe ich bereits:
EIne Funktion ist stetig für
[mm] \betrag{f(x)-f(x0)}< \varepsilon [/mm] mit [mm] \betrag{x-x0}<\delta
[/mm]
mir ist klar dass [mm] x^{3} [/mm] auf jeden fall stetig ist, aber wie cih das delta nun bestimmen muss weiss ich nicht.
mir geht es hierbei nicht nur um den speziellen lösungsweg sondern ich weiss generell nicht wie ich das problem angehen soll.
vielen dank für die hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Katja,
> Beweisen Sie die Stetigkeit der Funktion f(x) [mm]=x^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
an der
> Stelle x_0=0
> Ich weiss dass diese Antwort vermutlich sehr simpel ist,
> dennoch weiss ich nciht wie ich genau Vorgehen muss:
>
> folgende Ideen habe ich bereits:
>
> EIne Funktion ist stetig für
> $|{f(x)-f(x0)|< \varepsilon$ mit $|{x-x0}|<\delta$
Nana, schreibe mal die genaue und wortgetreue Definition auf!
>
> mir ist klar dass $x^{3}$ auf jeden fall stetig ist, aber wie
> cih das delta nun bestimmen muss weiss ich nicht.
>
> mir geht es hierbei nicht nur um den speziellen lösungsweg
> sondern ich weiss generell nicht wie ich das problem
> angehen soll.
Nun, es gilt ja, zu beliebig vorgegebenem $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ anzugeben, so dass für alle $x$ mit $|x-x_0|=|x-0|=|x|<\delta$ gefälligst $|f(x)-f(x_0)|=|x^3-0^3|=|x|^3<\varepsilon$ ist
Um dieses $\delta$ zu konstruieren, nimmt man sich üblicherweise das $|f(x)-f(x_0)|$ her und schätze es so ab, dass man irgendwie auf $|x-x_0|$ kommt und damit weiter arbeiten kann.
Hier ist es für die Stelle $x_0=0$ besonders einfach, denn $|f(x)-f(0)|=|x|^3$
Wie kannst du nun sehr naheliegend $\delta>0$ wählen, dass mit $|x-x_0|=|x|<\delta$ dann auch $|x|^3<\varepsilon$ ist?
$\delta$ hängt in naheliegender Weise von $\varepsilon$ ab ...
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> vielen dank für die hilfe
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Di 14.07.2009 | | Autor: | katjap |
au man ok, das ist ja echt nicht besonders schwer:(
irgendwie scheint mein gehirn immer abzuschalten wenns um analysis geht;)
gut dann müsste [mm] x<\wurzel[3]{\varepsilon}=\delta [/mm] sein, wenn man es ganz genau nimmt...
gut, dann mache ich mich mal an die anderen beweise,
denke habe nun auch das prinzip verstanden,
danke
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Hallo nochmal,
> au man ok, das ist ja echt nicht besonders schwer:(
> irgendwie scheint mein gehirn immer abzuschalten wenns um
> analysis geht;)
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> gut dann müsste [mm]x<\wurzel[3]{\varepsilon}=\delta[/mm] sein,
> wenn man es ganz genau nimmt...
Wenn man es noch genauer nimmt, sollte man [mm] $\red{|}x\red{|}<\delta=\sqrt[3]{\varepsilon}$ [/mm] schreiben 
Aber ja, die Wahl von [mm] $\delta$ [/mm] ist ok!
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> gut, dann mache ich mich mal an die anderen beweise,
> denke habe nun auch das prinzip verstanden,
>
> danke
LG
schachuzipus
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