Beweis Stetigkeit der Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Sa 26.11.2005 | | Autor: | tempo |
hallo,
folgende aufgabe bereitet mir ein problem:
a) Zeigen Sie, daß die Funktion [mm] f:\IR \to \IR,
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner,gleich 0} \\ x+1, & \mbox{für } x \mbox{ grösser 0} \end{cases}
[/mm]
im Nullpunkt unstetig ist. Geben Sie hierfür einen Beweis mit Hilfe des [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] -Kriteriums und einen mittels Folgen an.
b) Untersuchen Sie, in welchen Punkten die Fuktion f: [mm] \IR \to \IR,
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ element Q} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ nicht element Q} \end{cases} [/mm]
stetig ist.
also mein problem bei der a) ist das aufschreiben. ich habe z.B.
ein [mm] \varepsilon [/mm] >0 und will zeigen |f(x)-f(0)|=|f(x)|< [mm] \varepsilon [/mm] für |x|< [mm] \delta
[/mm]
und laut beispiel aus der vorlesung gehts dann mit:
|x|< [mm] \varepsilon [/mm] , x [mm] \le [/mm] 0 und |x|< [mm] \delta
[/mm]
|x+1|< [mm] \varepsilon [/mm] , x>0 und |x|< [mm] \delta
[/mm]
weiter. aber hier ist schon mein problem; das [mm] \varepsilon [/mm] ist doch "die differenz der f(x)"??? warum steht jetzt |x|< [mm] \varepsilon [/mm] da? habe mir das [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] -Kriterium schon zig mal "reingezogen", weiß auch worum es da geht, aber warum da |x|< [mm] \varepsilon [/mm] steht verstehe ich echt nicht! wäre über ein bisschen mehr klarheit diesbezüglich sehr erfreut.
Das zeigen mittels Folgen mache ich ja mit den lim den ich von recht und von links gegen 0 laufen lasse und prüfe dann noch ob der mit f(0) übereinstimmt, oder? und bei der b) habe ich fast das gleiche problem wie bei der a). die funktion an sich (behaupte ich mal) ist nicht stetig (da unendlich viele sprünge (von 0 auf x) drin sind), da aber nach der stetigkeit in den punkten gefragt ist, ist sie für mich in allen punkten stetig! aber wie schreibt man sowas auf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 So 27.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo tempo
Wenn f(x)=x ist und f(0)=0 dann ist |x| sowohl |f(x)-f(0)| als auch |x-0|
wenn f(x)=x+1 ; f(0)=1 ist |f(x)-f(0)|=|x+1-1|=|x|
Wars das, was dich verwirrte?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 So 27.11.2005 | | Autor: | tempo |
> Hallo tempo
> Wenn f(x)=x ist und f(0)=0 dann ist |x| sowohl |f(x)-f(0)|
> als auch |x-0|
> wenn f(x)=x+1 ; f(0)=1 ist |f(x)-f(0)|=|x+1-1|=|x|
> Wars das, was dich verwirrte?
> Gruss leduart
der AHA-Effekt war grad da (hoffe jedenfalls das es der war ;) )
also wenn ich dann weitermache, wird aus
|x|< [mm] \varepsilon [/mm] für x [mm] \le [/mm] 0 und |x|< [mm] \delta
[/mm]
|x+1|< [mm] \varepsilon [/mm] für x > 0 und |x|< [mm] \delta
[/mm]
einerseits: |x|< [mm] \varepsilon [/mm] d.h. [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
andererseits: |x+1|< [mm] \varepsilon [/mm] (d.h. nach umstellen+auflösen) [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] -1 (WIEDERSPRUCH) da für ein beliebig kleines [mm] \varepsilon [/mm] ein beliebig kleines [mm] \delta [/mm] existieren soll (falls stetig) und falls epsilon jetzt kleiner 1 ist wird das [mm] \delta [/mm] kleiner 0 (ist aber lt. voraussetzung größer 0) verstehe ich das so richtig?
und leider bin ich mit der b) nicht weitergekommen. wir haben ja auch noch eine weitere aufgabe (die meinermeinung nach der b) sehr ähnelt) und zwar:
Sei D:={0} [mm] \cup [/mm] [1,2]. Zeigen Sie: Jede Funktion f: D [mm] \to \IR [/mm] ist in [mm] x_0 [/mm] = 0 stetig.
also für mich ist es wie bei der b) zu beweisen das die funktion in einem punkt (hier 0) stetig ist, weiß aber nicht wie ich das machen soll?! habe einfach mal den [mm] \limes_{x_n\rightarrow 0} f(x_n) [/mm] gleich f(0) gesetzt --- und dann (das reicht doch bestimmt nicht)???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 So 27.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo tempo
Die 1. Aufgabe ist fast richtig, nur wie du es sagst ist sehr schlecht!
> |x|< [mm]\varepsilon[/mm] für x [mm]\le[/mm] 0 und |x|< [mm]\delta[/mm]
d.h. "linksseitig stetig. Wenn hier das Def. Gebiet aufhörte wäre f stetig.
> |x+1|< [mm]\varepsilon[/mm] für x > 0 und |x|< [mm]\delta[/mm]
>
> einerseits: |x|< [mm]\varepsilon[/mm] d.h. [mm]\delta[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
> andererseits: |x+1|< [mm]\varepsilon[/mm] (d.h. nach
> umstellen+auflösen) [mm]\delta[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] -1 (WIEDERSPRUCH)
> da für ein beliebig kleines [mm]\varepsilon[/mm] ein beliebig
> kleines [mm]\delta[/mm] existieren soll (falls stetig) und falls
> epsilon jetzt kleiner 1 ist wird das [mm]\delta[/mm] kleiner 0 (ist
> aber lt. voraussetzung größer 0) verstehe ich das so
> richtig?
Falsch ist, dass ein bel. kleines [mm] \delta [/mm] existieren muss: Stetigkeit sagt: zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] EXISTIERT ein [mm] \delta, [/mm] so dass aus [mm] |x-x0|<\delta [/mm] folgt [mm] |f(x)-f(x0)|<\varepsilon. [/mm] über die Größe von [mm] \delta [/mm] ist dabei nichts gesagt.
f(x)=2 ist stetig und du kannst [mm] \delta =10^{77} [/mm] nemen.
[mm] f(x)=10^{-20}*x+17 [/mm] ist stetig, und du kannst [mm] \delta =10^{20}*\varepsilon [/mm] nehmen. (dass [mm] \delta>0 [/mm] ist ist wegen der Betragstriche klar.
also bleibt: es gibt kein [mm] \delta [/mm] zu einem [mm] \varepsilon<1 [/mm] so dass aus [mm] |x-0|<\delta |x+1|<\varepsilon [/mm] folgt. das kannst du mit deiner Rechng. zeigen, da du wegen x>0 ja die Absolutstriche weglassen kannst.
> und leider bin ich mit der b) nicht weitergekommen. wir
> haben ja auch noch eine weitere aufgabe (die meinermeinung
> nach der b) sehr ähnelt) und zwar:
>
> Sei D:={0} [mm]\cup[/mm] [1,2]. Zeigen Sie: Jede Funktion f: D [mm]\to \IR[/mm]
> ist in [mm]x_0[/mm] = 0 stetig.
>
> also für mich ist es wie bei der b) zu beweisen das die
> funktion in einem punkt (hier 0) stetig ist, weiß aber
> nicht wie ich das machen soll?! habe einfach mal den
> [mm]\limes_{x_n\rightarrow 0} f(x_n)[/mm] gleich f(0) gesetzt ---
> und dann (das reicht doch bestimmt nicht)???
Nein! Wenn das Def. Gebiet., d.h. die Menge der x die abgebildet werden einzelne isolierte Punkte enthält, ist die Funktion f: [mm] D-->\IR [/mm] immer stetig.
1.Folgenstetigkeit: Jede Folge aus D die gegen 0 konvergiert ist die konstante Folge xn=0 , d.h. wenn die Folge gegen 0 konvergiert, dann auch die Funktionswerte!
2. [mm] \varepsilon,\delta [/mm] Def: [mm] |f(x)-f(0)|<\varepsilon [/mm] falls x aus D und x<1.(den dann ist x=0 und [mm] |f(x)-f(0)|=0<\varepsilon.
[/mm]
Jetzt zu der zweiten Aufgabe : die Funktion ist nur bei x=0 stetig. Am einfachsten mit Folgenstetigkeit ist die Unstetigkeit an allen anderen Stellen zu zeigen. a) x0=p/q. aus Q die Folge [mm] xn=x0+\wurzel{2}/n [/mm] konvergiert gegen x0, ihre Werte sind alle 0, da xn nicht rational. d.h. an rationalen Pkten nicht stetig, ausser bei x=0, da kann ich bel. Folgen, rat. oder reell nehmen ,sie konvergieren gegen o die Funktionswerte auch.
2. an reellen Punktenx=r nimm eine bel. rationale Folge, die gegen r konvergiert. die existiert, die Werte konvergieren gegen r, die Funktionswerte auch, aber f(r)=0
(anders wär es, wenn f(p/q)=1/q ist und f(r)=0. die Fkt ist an allen rationalen Stellen unstetig, an allen irrationalen stetig!)
Gruss leduart
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