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| Aufgabe | Zur Erinnerung: Eine Funktion [mm] f: U\to \IR [/mm] heißt stetig in [mm] x_0 \in U \subseteq \IR [/mm], wenn gilt: [mm]\lim_{x\to x_0} = f(x_0) [/mm]. Eine Funktion heißt stetig, wenn sie in allen [mm] x_0 \in U[/mm] stetig ist. Zeigen Sie die Stetigkeit folgender Funktionen:
(1) [mm] f:\IR_{\ge0} \to \IR: f(x) = x^z [/mm] für [mm] z\in\IZ[/mm].
(2) [mm] f:\IR \to \IR:F(x) = e^x [/mm]. |
Hallo zusammen,
Bräuchte hier mal einen Tipp... weil Stetigkeit beweise ich ja, indem ich die Problemstelle [mm] x_0[/mm] sehe und x von beiden Seiten dort hin streben lasse.. aber wo sind da die Problemstellen? Gibts noch einen anderen Weg?
LG, Fredi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Mo 25.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Bräuchte hier mal einen Tipp... weil Stetigkeit beweise ich
> ja, indem ich die Problemstelle [mm]x_0[/mm] sehe und x von beiden
> Seiten dort hin streben lasse.. aber wo sind da die
> Problemstellen? Gibts noch einen anderen Weg?
Diese Funktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig, daher gibt es keine sog. Problemstellen. Viel mehr erwartet man von dir, dass du Stetigkeit mit dem Folgenkriterium nachweist:
i) Sei [mm] x_{0} [/mm] ein völlig beliebiger Punkt aus dem Definitionsbereich [mm] \IR_{\ge 0}. [/mm] Weiterhin sei [mm] x_{n} [/mm] ein völlig beliebige Folge, die gegen [mm] x_{0} [/mm] konvergiert (d.h. die Folge könnte von oben, oder von unten an [mm] x_{0} [/mm] heran konvergieren. Oder sogar zum [mm] x_{0} [/mm] oszillieren). Du sollst dann beweisen, dass
[mm] x_{n}^{z} [/mm] gegen [mm] x_{0}^{z} [/mm] konvergiert,
unter der Voraussetzung, dass
[mm] x_{n} [/mm] gegen [mm] x_{0} [/mm] konvergiert.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Mi 27.06.2007 | | Autor: | FrediBlume |
Hallo Dormant,
Alles klar, vielen Dank!!
Liebe Grüße, Fredi
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Hallo,
Hat vielleicht noch jemand eine kleine Hilfe zur zweiten Aufgabe? Wir haben den Tipp bekommen, es mit dem Epsilon-Kriterium zu versuchen, die Reihenentwicklung von [mm]e^{x-a}[/mm] zu betrachten und die geometrische Reihe... .
Liebe Grüße, Fredi
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> Hat vielleicht noch jemand eine kleine Hilfe zur zweiten
> Aufgabe? Wir haben den Tipp bekommen, es mit dem
> Epsilon-Kriterium zu versuchen, die Reihenentwicklung von
> [mm]e^{x-a}[/mm] zu betrachten und die geometrische Reihe... .
Hallo,
zu zeigen ist hier ja, daß für jedes a [mm] \in \IR [/mm] folgendes gilt:
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 findet man ein passendes [mm] \vardelta [/mm] >0, so daß für alle x gilt: [mm] |e^x-e^a|<\varepsilon, [/mm] sofern [mm] |x-a|<\delta. [/mm]
Sei also a [mm] \in \IR [/mm] und
[mm] \varepsilon>0.
[/mm]
Def. [mm] \delta:=... [/mm] (Das überlegst Du Dir später. Es soll ja passen...)
Sei x [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] |x-a|<\delta.
[/mm]
Dann kann man x schreiben als [mm] x=a+\gamma [/mm] mit [mm] |\gamma|<\delta.
[/mm]
Es ist
[mm] |e^x-e^a|=|e^{a+\gamma}-e^a|=e^a|e^{\gamma}-1|
[/mm]
Nun setze für [mm] e^{\gamma} [/mm] die Reihenentwicklung ein,
berechne [mm] e^{\gamma}-1, [/mm] schätze mit der geometrischen Reihe ab,
bedenke [mm] |\gamma|<\delta
[/mm]
und bastele Dir das eingangs benötigte [mm] \delta [/mm] passend zurecht,
so daß [mm] <\varepsilon [/mm] herauskommt
Gruß v. Angela
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