Beweis Stetigkeit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige die Wurzelfunktion f(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] ist stetig |
Ich komme da nicht weiter.
habs mit [mm] \varepsilon-\delta- [/mm] Definition probiert.
sei x beliebig fest.
sei y beliebig, sei [mm] |x-y|<\delta
[/mm]
|f(x)-f(y)| = [mm] |\wurzel{x}-\wurzel{y}|= \bruch{x-y}{\wurzel{x}+\wurzel{y}} [/mm]
weiter weiß ich nicht wie ich das weiter abschätzen soll
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Do 02.02.2006 | | Autor: | Ursus |
Hallo!
Ich glaube, dass es eigentlich schon so passt, da [mm] |x-y|<\delta
[/mm]
nach deiner Umformung
[mm] |\wurzel{x}-\wurzel{y}|= \bruch{x-y}{\wurzel{x}+\wurzel{y}} <\bruch{\delta}{\wurzel{x}+\wurzel{y}} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
also hast du zu einem gegebenem [mm] \delta [/mm] ein [mm] \varepsilon [/mm] gefunden und es ist mindestens um den Faktor [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}+\wurzel{y}} [/mm] kleiner als [mm] \delta.
[/mm]
Ich glaube, dass es eigentlich so schon passen müsste.
mfg URSUS
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aber wie wähle ich jetzt mein [mm] \delta? [/mm] ich muss ja das [mm] \vaepsilon [/mm] beliebig lassen und ein [mm] \delta [/mm] bestimmen. dieses [mm] \delta [/mm] kann abhängig von meinem x sein, aber muss unabhängig von meinem y sein
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Ich würde sagen mit [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] müsste es gehen, denn
x > [mm] \wurzel{x}
[/mm]
y > [mm] \wurzel{y}
[/mm]
=> x-y > [mm] \wurzel{x}- \wurzel{y}
[/mm]
Ohne Einschränkung sei x [mm] \ge [/mm] y, also bist Du fertig....
Aber das kommt mir sehr sehr komisch vor. Also bitte korrektur lesen. Keine Garantie.
;)
Gruß
Alex
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es gilt aber nicht im jeden fall x-y > [mm] \wurzel{x}-\wurzel{y}
[/mm]
sei z.b. x=1/4, y= 1/16
dann ist x-y = 3/16
aber [mm] \wurzel{x}-\wurzel{y} [/mm] = 1/2 - 1/4 = 1/4 = 4/16
Frage weiter offen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Fr 03.02.2006 | | Autor: | Janyary |
hab grad ne antwort zur ausgangsfrage geschrieben, denke passt hierzu genauso gut. hoffe ist richtig und hat dir geholfen. :)
gruss, Jany
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Fr 03.02.2006 | | Autor: | Janyary |
ich hab die aufgabe damals schonmal bewiesen und zwar ueber gleichmaessige stetigkeit. denn wenn eine funktion gleichmaessig stetig ist, ist sie ja auch stetig.
dabei musst du deinen term folgendermassen abschaetzen..
[mm] \wurzel{x}- \wurzel{y}<= \wurzel{x-y}
[/mm]
diese aussage musst du wahrscheinlich beweisen. falls du dafuer hilfe brauchst, einfach nochmal nachfragen.
jedenfalls kannst du dann folgern, dass gilt:
[mm] |x-y|<\delta \to |f(x)-f(y)|=|\wurzel{x}- \wurzel{y}|< \wurzel{|x-y|}< \wurzel{\delta}=\wurzel{ \varepsilon^{2}}=\varepsilon
[/mm]
du musst dein [mm] \delta [/mm] einfach als [mm] \varepsilon^{2} [/mm] definieren.
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