Beweis Schnittmenge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich möchte zeigen, dass die {0} [mm] \subset \cap [/mm] An ist...An ist definiert, als (-1/n, 1/n) und für eine Intervall (a,b) gelte
[mm] (a,b):={x\in \IQ; a
Spontan dacht ich an indirekten beweis, den haben wir aber noch nicht gemacht, fehlt jmd. ein anderer Ansatz ein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Do 30.10.2008 | | Autor: | Dinker |
Tut mir leid, Fragen ohne erischtlichen Lösungsansatz werden hier nicht beantwortet
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naja, wäre es jetzt z.B. so dass ich zeigen wollte, dass die Schnittmenge eine Teilmenge wäre, dann würde ich mir ein x herausgreifen und entlang der Definitionen umformen, die erscheint mir hier jedoch merkwürdig...es ist also nicht so, dass ich über das Problem nicht schon nachgedacht hätte...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> naja, wäre es jetzt z.B. so dass ich zeigen wollte, dass
> die Schnittmenge eine Teilmenge wäre, dann würde ich mir
> ein x herausgreifen und entlang der Definitionen umformen,
> die erscheint mir hier jedoch merkwürdig...es ist also
> nicht so, dass ich über das Problem nicht schon nachgedacht
> hätte...
wenn für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, dass $0 [mm] \in A_n$, [/mm] so folgt auch $0 [mm] \in \bigcap_{n \in \IN} A_n\,.$
[/mm]
Denn:
$x [mm] \in \bigcap_{i \in I} A_i$ $\gdw$ $\forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I$: $x [mm] \in A_i\,.$
[/mm]
Das ist ja gerade die Definition der Schnittmenge. Und insbesondere zeigt Dir [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] dann das, was Du brauchst.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Do 30.10.2008 | | Autor: | iks |
Hallo auch!
Darfst du das nich auch direkt?
[mm] $\forall n\in\IN:$ $-\frac{1}{n}<0<\frac{1}{n}$
[/mm]
daraus auf Grund der Definition des Intervalls
[mm] $\forall n\in\IN:$ $0\in(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})$
[/mm]
und somit gilt nach Definition des Schnittes
[mm] $0\in\bigcap\limits_{n=1}^\infty (-\frac{1}{n},\frac{1}{n})$
[/mm]
mFg iks
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dann kann ich einfach schreiben:
{0} [mm] \subset \cap [/mm] An, denn nach Defintion An ist 0 Element aller An und damit 0 [mm] \in \cap [/mm] An?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> dann kann ich einfach schreiben:
>
> {0} [mm]\subset \cap[/mm] An, denn nach Defintion An ist 0 Element
> aller An und damit 0 [mm]\in \cap[/mm] An?
genau:
es gilt [mm] $\black{-}1/n [/mm] < 0 < 1/n$ für jedes $n [mm] \in \IN$. [/mm] Daher ist $0 [mm] \in (-1/n,\;1/n)=A_n$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Also gilt:
$$0 [mm] \in \{x:\; x \in A_n \text{ für jedes }n \in \IN\}=\bigcap_{n \in \IN}A_n\,$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$\{0\} \subseteq \bigcap_{n \in \IN}A_n\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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sag ich dann vorher noch: x sei Element {0}, also -1/n <0< -1/n...
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Die Logik ist ja jetzt klar. In der Frage der Notation des Beweises finde ich den Vorschlag von iks sauberer.
Und dein "x sei Element {0}..." trägt m.E. weder zur Logik noch zur Notation bei.
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und den Anfang muss ich nicht noch irgendwie begründen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> und den Anfang muss ich nicht noch irgendwie begründen?
siehe unten:
Wenn Du willst, kannst Du schon so anfangen:
Es sei $x [mm] \in \{0\}\,.$ [/mm] Dann gilt [mm] $\black{x}=0.$ [/mm] Weiter gilt für jedes $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
$$-1/n < 0=x < [mm] 1/n\,.$$
[/mm]
Also ist $x=0 [mm] \in (-1/n,1/n)=A_n$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] und damit auch $0 [mm] \in \bigcap_{n \in \IN} A_n$, [/mm] was zu zeigen war.
Gruß,
Marcel
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gut, momentan ist mir das mit x element einfach einleuchtender...
dankeschön!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> gut, momentan ist mir das mit x element einfach
> einleuchtender...
das ist schon okay. Aber wenn Du eine einelementige Menge hast, also [mm] $M=\{m\}$, [/mm] dann gilt, wie gesagt $x [mm] \in [/mm] M$ [mm] $\gdw$ $x=m\,.$ [/mm]
Genaugenommen:
Ist $Z$ irgendeine Menge, dann gilt:
$$y [mm] \in [/mm] Z [mm] \gdw \{y\} \subseteq Z\,.$$
[/mm]
Das ist eine ziemliche Banalität.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> sag ich dann vorher noch: x sei Element {0}, also -1/n <0<
> -1/n...
das macht doch keinen Sinn. Du willst zeigen: [mm] $\{0\} \subseteq \bigcap_{n \in \IN}A_n$ [/mm] mit [mm] $A_n:=(-1/n,\;\black{1}/n)$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Zu zeigen ist dann:
Für jedes $x [mm] \in \{0\}$ [/mm] gilt auch $x [mm] \in \bigcap_{n \in \IN}A_n\,.$
[/mm]
Wenn man nun $R [mm] \subseteq [/mm] S$ zeigen will, dann fängt man zwar standardmäßig in der Tat so an:
Sei $r [mm] \in [/mm] R$ beliebig, aber fest. Dann... und folgert dann, dass auch $r [mm] \in [/mm] S$ gilt.
Aber hier sähe der Anfang dann ja so aus:
Wir müssen zeigen, dass jedes Element [mm] $\black{x}$ [/mm] der Menge [mm] $\{0\}$ [/mm] auch $x [mm] \in \bigcap_{n \in \IN}A_n$ [/mm] erfüllt.
Und was bedeutet das nun: Sei $x [mm] \in \{0\}$? [/mm] Das ist ganz einfach:
$x [mm] \in \{0\} \gdw [/mm] x=0$.
Von daher macht es eigentlich keinen Sinn, hier anzufangen mit: Sei $x [mm] \in \{0\}$. [/mm] Da schreibt man lieber direkt: Wir haben $0 [mm] \in \bigcap_{n \in \IN}A_n$ [/mm] zu zeigen...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
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> Ich möchte zeigen, dass die {0} [mm]\subset \cap[/mm] An ist...An
> ist definiert, als (-1/n, 1/n) und für eine Intervall (a,b)
> gelte
>
> [mm](a,b):=\{x\in \IQ; a
hier müssen wir noch etwas ergänzen:
Und zwar gilt für jedes $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
$0 [mm] \in [/mm] (-1/n,1/n)$, weil [mm] $\black{-}1/n [/mm] < 0 < 1/n$ und auch $0 [mm] \in \IQ$ [/mm] ist.
Nach Eurer Definition der (offenen) [mm] [i]$\IQ$-Intervalle[/i] [/mm] (so nenne ich diese mal) sollte man schon erwähnen, dass die [mm] $\black{0}$ [/mm] auch eine rationale Zahl ist.
Gruß,
Marcel
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so hab jetzt mal aufgeschrieben, wie ich die andere Richtung beweisen würde, könntet ihr da nochmal schauen?
x sei Element [mm] \bigcap A_n. [/mm] Dann ist x [mm] \in A_{n_0} [/mm] enthalten und es gilt (nach Definition des Intervalls): [mm] -1/n_0
Kann ich zwischen [mm] x\in A_n [/mm] und <x< auch nen Äqiuvalenzpfeil machen, ebenos zwischen [mm] 0\in A_{n_0}, [/mm] dann 0 [mm] \in \cap A_n [/mm] ?
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> so hab jetzt mal aufgeschrieben, wie ich die andere
> Richtung beweisen würde, könntet ihr da nochmal schauen?
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> x sei Element [mm]\bigcap A_n.[/mm] Dann ist x [mm]\in A_{n_0}[/mm] enthalten
> und es gilt (nach Definition des Intervalls):
> [mm]-1/n_0
> Dann 0 [mm]\in A_{n_0}.[/mm] dann [mm]0\in \cap A_n.[/mm]
Hallo,
das ist verkehrt, weil Du unterwegs die Nerven verloren und vergessen hast, was Du zeigen willst.
Zeigen willst Du ja, daß, sofern x in [mm] \bigcap A_n [/mm] liegt, dieses x zwangsläufig =0 sein muß.
Dein Beweis läuft in etwas so ab, ich sag' das jetzt mal in Kasperletheatermanier:
x sei Element [mm] \bigcap A_n. [/mm] 0 ist auch in [mm] \bigcap A_n. [/mm] Trallala! Also ist x=0.
Wie gesagt geht es aber darum, daß x überhaupt nichts andees als x=0 sein kann.
Diesen Beweis kannst Du per Widerspruch führen.
Nimm an, es sei [mm] x\not=0 [/mm] und [mm] x\in \bigcap A_n.
[/mm]
Versuch's mal!
Gruß v. Angela
P.S.: Bitte mach Dich mit dem Formeleditor vertraut, die Eingabehilfen findest Du unterhalb des Eingabefensters. Klickst Du aud "Vorschau", so siehst Du, ob alles so erscheint wie von Dir geplant. Indizes, Brüche, Wurzeln, Exponenten u.v.m. ist möglich. Es dauert, wenn man sich ein wenig damit beschäftigt hat, kaum länger, dafür ist die Leserlichkeit um ein Vielfaches erhöht.
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Hmmm..aber warum konnte ich dann die andere Richtung einfach so umformen?
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> Hmmm..aber warum konnte ich dann die andere Richtung
> einfach so umformen?
Hallo,
was meinst Du mit "einfach so"?
In der anderen Richtung war ja zu zeigen, daß die Null ein Element des Schnittes ist.
Das war ja recht einfach: Du mußtest bloß zeigen, daß sie in jeder der Mengen liegt, was aufgrund v. deren Definition wirklich kein Zauberwerk war.
Die jetzt zu bearbeitende Richtung ist ja auch von der Aussage her viel interessanter.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fuchsschwanz,
> Hmmm..aber warum konnte ich dann die andere Richtung
> einfach so umformen?
es gibt durchaus Äquivalenzbeweise, wo die eine Richtung sehr einfach ist und die andere kompliziert wird. Hier sind im Prinzip beide Richtungen fast gleich einfach (schwer?). Das wirst Du sehen, wenn Du am Ende mal beide Beweisrichtungen geführt hast, aufgeschrieben hast und sie vergleichst. Ich würde hier vorsichtig sein, einfach jeden [mm] $\Rightarrow$ [/mm] auch umzukehren. Das geht bei einigen Beweisen, es kann aber auch gut in die Hose gehen. Und gerade am Anfang sollte man besser beide Beweisrichtungen getrennt führen. So nach und nach bekommt man dann ein Gespür dafür, wenn man Beweise führt, wann man diesen auch zu einem Äquivalenzbeweis ausbauen kann oder wo es schiefgeht, so dass man für die anderen Beweisrichtung einen zusätzlichen Beweis benötigt. Das kommt aber bei vielen erst mit der Zeit, und auch die, die meinen, das von Anfang an zu können, schludern mit der Zeit aber zu oft, weil sie einfach nicht genug aufpassen.
Du willst ja nun zeigen: [mm] $\bigcap_{n \in \IN} A_n \subseteq \{0\}\,.$ [/mm] Zu zeigen ist also: Ist $x [mm] \in\bigcap_{n \in \IN} A_n$, [/mm] so folgt auch $x [mm] \in \{0\}$ [/mm] bzw. anders ausgedrückt: dann folgt [mm] $x=0\,.$
[/mm]
Wenn $x [mm] \in \bigcap_{n \in \IN} A_n$, [/mm] so gilt $x [mm] \in A_n$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Nach Definition der [mm] $A_n$ [/mm] ist insbesondere $x [mm] \in \IQ\,.$ [/mm] (Das ist schonmal gut, weil ja auch $0 [mm] \in \IQ$) [/mm]
Und jetzt führe den Widerspruch so, wie Angela es vorgeschlagen hat:
Angenommen, es sei $x [mm] \in \IQ \setminus\{0\}$. [/mm] Jetzt kannst Du auf zwei Wegen weiter verfahren:
1. Möglichkeit:
Zwei Fallunterscheidungen:
a) Angenommen, es sei $x > 0$...
b) Angenommen, es sei $x < 0$...
2. Möglichkeit:
Dann ist $|x| > 0$...
Also Tipp gebe ich Dir nun:
Ist $|x| > 0$, so begründe die Existenz eines [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\frac{1}{n_0} [/mm] < |x|$ und überlege Dir, ob dann $x [mm] \in A_{n_0}$ [/mm] gelten kann. Wenn nicht: Warum ist das ein Widerspruch?
Gruß,
Marcel
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so auf ein Neues...
Also für den Fall x>o:
Es gilt -1/n<x<1/n. Da x>0 muss x gelten: 0<x<1/n. Da x in An liegen soll, müsste 1/n=0 sein, dies ist aber nicht möglich, also kann x> 0 nicht Element von An sein?
Wie gesagt, eigentlich haben wir den indirekten Beweis noch nicht wirklich gemacht...
Andere Seite:
x<0:. Es muss gelten -1/n<x<0, damit müsste -1/n=0 sein, siehe oben
?
Vielen lieben Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Fr 31.10.2008 | | Autor: | iks |
Moin Fuxschwanz!
Wenn du einen Widerspruchsbeweis machen möchtest, gehst du von einer Annahme aus und zeigst dann, das sich diese Annahme mit den Voraussetzungen nicht verträgt.
Sei $X$ die Menge aller [mm] $x\in\IQ$, [/mm] so dass für [mm] \underline{alle} $n\in\IN$ $x\in(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})$. [/mm]
Schon gezeigt wurde das $X$ nichtleer ist, da $X$ ganz sicher die $0$ enthält. Zu zeigen wäre nun das 0 das einzige Element von $X$ ist.
Dazu nehmen wir an, $0$ wäre nicht das einzige Element von $X$. Dann existiert also ein [mm] $k\in\IQ$ [/mm] so dass für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
entweder:
[mm] $0
Dies musst du nun sauber zu einem Widerspruch führen. Dabei ist hier allerdings deine Voraussetzung ein wenig versteckt in den Eigenschaften von [mm] $\IN$. [/mm] Dazu eine Frage: Ist [mm] $\IN$ [/mm] endlich?
Sei nun
$0<k$ [mm] $\Rightarrow\forall n\in\IN:$ $k<\frac{1}{n}$.....
[/mm]
nun du...
Bei $x<=0$ verläuft das dann analog
Gruß iks
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Hmmm...eigentlich ist N doch unendlich, denn für jede natürliche Zahl n gibt es einen NAchfolger n+1, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hmmm...eigentlich ist N doch unendlich, denn für jede
> natürliche Zahl n gibt es einen NAchfolger n+1, oder?
ja, wobei das letztgenannte so natürlich nicht ausreicht, um die Unendlichkeit von [mm] $\IN$ [/mm] zu begründen. Wenn ich z.B. drei paarweise verschiedene Elemente $a,b,c$ habe, dann kann ich auch sagen, dass jedes dieser Elemente (sogar genau) einen Nachfolger haben soll. Den Nachfolger eines Elements [mm] $\black{x}$ [/mm] kennzeichne ich mal mit [mm] $\tilde{x}$, [/mm] und jetzt definiere ich:
[mm] $\tilde{a}:=b$, $\tilde{b}:=c$ [/mm] und [mm] $\tilde{c}:=a\,.$
[/mm]
Die Menge [mm] $\{a,b,c\}$ [/mm] ist endlich, nichtsdestotrotz hat aber jedes Element hier einen Nachfolger.
Aber gehen wir mal davon aus, dass es so einleuchtend sei, dass [mm] $\IN$ [/mm] eine unendliche Menge ist. Worauf wollte iks hinaus?
Naja, wenn das $k [mm] \in \IQ_{>0}$ [/mm] so wäre, dass $k < [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gelten würde, so würde das ja auch $n < [mm] \frac{1}{k}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] implizieren. Dann wäre aber jede natürliche Zahl $n$ kleiner als (die rationale Zahl) [mm] $\frac{1}{k} [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] also [mm] $\IN$ [/mm] beschränkt und daher auch endlich. Auf diesen Widerspruch wollte iks hinaus.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> so auf ein Neues...
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> Also für den Fall x>o:
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> Es gilt -1/n<x<1/n. Da x>0 muss x gelten: 0<x<1/n. Da x in
> An liegen soll, müsste 1/n=0 sein,
wie folgerst Du das denn bitteschön? Ich sehe kein Argument, dass das liefern würde.
> dies ist aber nicht
> möglich, also kann x> 0 nicht Element von An sein?
>
> Wie gesagt, eigentlich haben wir den indirekten Beweis noch
> nicht wirklich gemacht...
>
>
> Andere Seite:
> x<0:. Es muss gelten -1/n<x<0, damit müsste -1/n=0 sein,
> siehe oben
>
nein, ich habe extra den Fall $|x| > 0$ angedeutet. Hier läuft es im Prinzip genauso ab:
Sei $x > 0$. Nun wähle ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\frac{1}{n_0} [/mm] < x$ (Warum findet man ein solches? Wegen des ![[]](/images/popup.gif) Satzes des Archimedes.)
Daher gilt nun $0 < [mm] \frac{1}{n_0} [/mm] < [mm] x\,.$ [/mm] Kann dann denn noch $x [mm] \in A_{n_0}$ [/mm] gelten?
Wenn aber $x [mm] \in \bigcap_{n \in \IN} A_n$ [/mm] war, dann muss aber doch $x [mm] \in A_n$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gewesen sein, also insbesondere auch $x [mm] \in A_{n_0}\,.$
[/mm]
Wo ist jetzt genau der Widerspruch?
P.S.:
Im Falle $x < 0$ verfährt man analog. Wähle hier ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $\frac{1}{n_0} [/mm] < [mm] -x\,.$ [/mm] Das ist äquivalent zu $x < [mm] -\frac{1}{n_0}$...
[/mm]
P.P.S.:
Es geht hier auch durchaus direkt. Dazu muss man allerdings wissen:
[mm] $\blue{a=b}$ $\blue{\gdw}$ $\blue{|a-b| < \varepsilon}$ [/mm] für alle [mm] $\blue{\varepsilon > 0}\,.$ [/mm] Und der Beweis dazu wird dann allerdings wieder indirekt geführt bzw. mit einem Widerspruchsbeweis. Also wirklich gewonnen hat man da nichts...
Gruß,
Marcel
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Vielen lieben Dank für eure Antworten!
Kann das soweit nachvollziehen, habe aber vorher noch nie vom Satz des Archimedes gehört, und wäre auch mit meinem Kenntnisstand nie auf die Geschichte mit der Unendlichkeit gekommen...mal davon abgesehen, dass wir bei dem Prof noch keinen Widerspruchsbeweis gemacht haben.....also Aufgabe war ja verfizieren sie die Gleichung...gibt es da wiklich keinen anderen Weg?
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> Kann das soweit nachvollziehen,
Hallo,
das ist doch schonmal giut.
(Du kannst ja in einer halben Stunde mal versuchen, es allein aufzuschreiben - oder erklär's einem Kommilitonen, der bei der Aufgabe auf dem Schlauch steht.)
> habe aber vorher noch nie
> vom Satz des Archimedes gehört,
Im Angesichte dieser Aufgabe kann ich mir das fast nicht vorstellen - aber meine Fantasie ist eindeutig endlich!
Vielleicht ist die Bezeichnung "Archimedisches Axiom" untergegangen, vielleicht habt Ihr andere Aussagen gehabt, die mit dem Archimedischen Axiom eng verbandelt sind.
Es könnte z.B. sein, daß bei Euch vorkam, daß jede reelle (oder rationale) Zahl r zwischen zwei aufeinanderfolgenden natürlichen liegt: [mm] n\le [/mm] r<n+1.
Diese Aussage könnte man in dem Beweis sicher auch an passender Stelle verwenden, z. B. so:
sei [mm] x\in \bigcap A_n. [/mm] Angenommen [mm] x\not=0. [/mm] Dann gibt es ein [mm] n_0 [/mm] mit [mm] n_0\le \bruch{1}{x} [/mm] < [mm] n_0+1, [/mm] und dann weiter bis zum Widerspruch.
> und wäre auch mit meinem
> Kenntnisstand nie auf die Geschichte mit der Unendlichkeit
> gekommen...
Wir sind natürlich in Deiner Vorlesung nicht dabei.
Aus eigener, leidiger Erfahrung kann ich jedoch sagen, das es verflixt oft eine Diskrepanz zwischen dem eigenen Kenntnisstand und dem Stoff, der in der Vorlesung behandelt wurde, gibt.
> mal davon abgesehen, dass wir bei dem Prof noch
> keinen Widerspruchsbeweis gemacht haben.....
Also wenn Du darauf wartest, daß Dir alles einmal vorgemacht wird, dann wartest Du lange...
Übrigens auch hier wieder etwas aus eigener Erfahrung: vieles wird in der Vorlesung tatsächlich einmal vorgemacht - aber es geht oft so schnell, daß man keine Gelegenheit hat, es zu merken. Es sei denn beim Nacharbeiten.
Gruß v. Angela
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Hey Angela!
Ich werde nachher nochmal die Unterlagen durchgehen, aber ich kann mich in keinster Weise an so etwas errinern...vielen Dank für eure Antworten!
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fuchsschwanz,
> Hey Angela!
>
> Ich werde nachher nochmal die Unterlagen durchgehen, aber
> ich kann mich in keinster Weise an so etwas
> errinern...vielen Dank für eure Antworten!
das kann schon sein. Wie gesagt, es kann durchaus sein, dass ihr andere Aussagen habt, die unsere hier implizieren oder sogar äquivalent dazu sind. Es kann auch sein, dass ihr mithilfe Eurer Sätze halt erst auf die Idee kommen sollt, daraus solche Sätze, wie die, die wir hier benutzt haben, anzuwenden.
Es kann z.B. durchaus sein, dass bei Euch irgendwo steht, dass [mm] $(1/n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Nullfolge ist, sofern ihr z.B. schon mit dem Begriff der Konvergenz von Folgen hantiert habt. Damit läßt sich das ganze auch beweisen.
Das Problem ist einfach: Ich benutze gerade die Standardmittel, die man eigentlich nach den ersten Wochen zur Verfügung haben sollte. Aber die Vorlesungen+Übungen werden ja verschieden aufgebaut (und bitte: suche nochmals vll. auch mal in den bisherigen Übungen, ob eine der Unklahrheiten Deinerseits nicht vll. doch eine Übungsaufgabe war), und wir können hier ja nicht alle möglichen Kombinationen eines Skriptaufbaus durchgehen 
(Zu Angelas letztem Kommentar fällt mir z.B. sofort die Gaußklammer ein.)
Also: Versuche, das ganze mit Deinem Kenntnisstand/Skript+Übungen abzugleichen. Wenn Du einen Link zum Skript+Übungen hast, können wir Dir auch suchen helfen, wie man den Beweis alleine mit den Euch zur Verfügung stehenden Mitteln führen kann. Aber ansonsten raten wir ins Blaue... und es sind zu viele Beweismöglichkeiten vorhanden, als dass man die alle mal aufschreiben könnte.
Gruß,
Marcel
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so kram ich die Frage nochmal wieder aus...
also wir haben nun folgenden Beweis als
Lösung bekommen:
[mm] \bigcap_{n\in \IN} [/mm] An ={0}
Also auch Widerspruch:
[mm] x\not=0
[/mm]
D.h. es existieren x1 und x2 [mm] \in \IZ, [/mm] so dass [mm] x=\bruch{x1}{x2}.
[/mm]
Fall1: x>0
Dann gilt: [mm] \bruch{x1}{x2}\ge \bruch{1}{|x2|}> [/mm] 0
d.h. [mm] x\not\in A_{|x2| +1}
[/mm]
Und analog für x<0.
Kann mir das jmd näher erläutern? Stehe da voll auf dem Schlauch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Do 06.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> so kram ich die Frage nochmal wieder aus...
>
> also wir haben nun folgenden Beweis als
> Lösung bekommen:
>
> [mm]\bigcap_{n\in \IN}[/mm] An ={0}
> Also auch Widerspruch:
Da sollte dann erstmal irgendwo stehen, dass offensichtlich $0 [mm] \in \bigcap_{n\in \IN}A_n$ [/mm] ist. Das ist zwar eigentlich trivial, sollte der Übungsleiter aber in der Lösung dann wenigstens erwähnen (wenn nicht schriftlich, dann mündlich).
> [mm]x\not=0[/mm]
Also angenommen, es existiert ein $x [mm] \not=0$ [/mm] mit $x [mm] \in \bigcap_{n\in \IN}A_n\,.$
[/mm]
> D.h. es existieren x1 und x2 [mm]\in \IZ,[/mm] so dass
> [mm]x=\bruch{x1}{x2}.[/mm]
Naja, das war die kleine, wichtige Ergänzung die ich oben erwähnte. Da alle [mm] $A_n \subseteq \IQ$ [/mm] waren, ist natürlich auch [mm] $\bigcap_{n\in \IN} A_n \subseteq \IQ\,.$ [/mm] Nach Annahme ist nun $x [mm] \in \bigcap_{n\in \IN}A_n$ [/mm] und damit ist $x [mm] \in \IQ\,.$ [/mm] Weil $x [mm] \in \IQ$, [/mm] hat $x$ eine Darstellung der Form [mm] $x=\frac{x_1}{x_2}$ [/mm] mit [mm] $x_1 \in \IZ$ [/mm] und [mm] $x_2 \in \IZ \setminus\{0\}\,.$ [/mm] Weil [mm] $(\IZ \setminus\{0\}) \subseteq \IZ$ [/mm] schreibt Dein Ü-Leiter nun einfach [mm] $x_1,x_2 \in \IZ\,.$ [/mm] (Aber der Fall [mm] $x_2=0$ [/mm] ist in der Bruchdarstellung [mm] $\frac{x_1}{x_2}$ [/mm] eh nicht erlaubt, also merke Dir ab hier immer, dass stets [mm] $x_2 \not=0$ [/mm] sein soll. Das kann man zwar unterschlagen und für "offensichtlich" erklären, aber das musst Du dennoch im Hinterkopf behalten.)
> Fall1: x>0
Hier haben [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] gleiches Vorzeichen, also gilt [mm] $\left|\frac{x_1}{x_2}\right|=\frac{x_1}{x_2}$
[/mm]
(Mal zwei Beispiele zur Verdeutlichung: [mm] $\left|\frac{5}{7}\right|=\frac{5}{7}\,,$ $\left|\frac{-3}{-11}\right|=\frac{3}{11}=\frac{-3}{-11}\,.$)
[/mm]
> Dann gilt: [mm]\bruch{x_1}{x_2}\ge \bruch{1}{|x_2|}>[/mm] 0
Ist Dir das nun klar?
> d.h. [mm]x\not\in A_{|x_2| +1}[/mm]
Wäre $x [mm] \in A_{|x_2|+1}\,$ [/mm] so wäre [mm] $-\frac{1}{|x_2|+1} [/mm] < x < [mm] \frac{1}{|x_2|+1}\,.$ [/mm] Das ist aber gleichbedeutend damit, dass dann
$$|x| < [mm] \frac{1}{|x_2|+1}$$ [/mm] wäre. Es ist aber
[mm] $$|x|=\frac{x_1}{x_2} \ge \frac{1}{|x_2|} [/mm] > [mm] \frac{1}{|x_2|+1}$$
[/mm]
also kann nicht $x [mm] \in A_{|x_2|+1}$ [/mm] gelten. Also muss $x [mm] \notin A_{|x_2|+1}$ [/mm] gelten. Das ist aber ein Widerspruch, denn es gilt offensichtlich [mm] $\bigcap_{n \in \IN} A_n \subseteq A_{|x_2|+1}\,.$ [/mm] Mit $x [mm] \in \bigcap_{n \in \IN} A_n$ [/mm] gilt also insbesondere $x [mm] \in A_{|x_2|+1}\,.$ [/mm] Aber oben wurde gezeigt, dass $x [mm] \notin A_{|x_2|+1}\,.$ [/mm] Hier müsste also gleichzeitig $x [mm] \in A_{|x_2|+1}$ [/mm] und $x [mm] \notin A_{|x_2|+1}$ [/mm] gelten, und beides zusammen geht offensichtlich nicht, also: Widerspruch.
> Und analog für x<0.
Ja, wenn Du magst, kannst Du das ja auch mal ausführen. Dann kann man o.B.d.A. [mm] $x=x_1/x_2$ [/mm] mit einem [mm] $x_2 \in \IN$ [/mm] und einem [mm] $x_1 \in \{z \oin \IZ: z \le 0\}$ [/mm] schreiben. Hier ist dann [mm] $x=-x_1/x_2$...
[/mm]
> Kann mir das jmd näher erläutern? Stehe da voll auf dem
> Schlauch...
Gruß,
Marcel
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> Dann gilt: $ [mm] \bruch{x_1}{x_2}\ge \bruch{1}{|x_2|}> [/mm] $ 0
Hmmmm, warum steht da nun die 1, weil x zwischen -1/n und 1/n liegt?...ich muss deinen restlichen Text nochmal in Ruhe lesen..dann kommen vllt. noch ein paar Frage dazu...
vielen lieben Dank erstmal..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Do 06.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Dann gilt: [mm]\bruch{x_1}{x_2}\ge \bruch{1}{|x_2|}>[/mm] 0
>
>
> Hmmmm, warum steht da nun die 1, weil x zwischen -1/n und
> 1/n liegt?...ich muss deinen restlichen Text nochmal in
> Ruhe lesen..dann kommen vllt. noch ein paar Frage
> dazu...
naja, man will ja so ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] finden, so dass $x [mm] \notin A_{N}\,.$ [/mm] Dazu definiert man [mm] $N:=|x_2|$ [/mm] (man beachte, dass wegen [mm] $x_2 \in \IZ \setminus\{0\}$ [/mm] folgt, dass [mm] $|x_2| \in \IN$; [/mm] wobei bei mir $0 [mm] \notin \IN$).
[/mm]
Die Abschätzung oben ist dann eigentlich trivial:
Es ist [mm] $|x_1| \ge [/mm] 1$ (da [mm] $|x_1| \in \IN$) [/mm] wegen $x [mm] \not=0\,.$ [/mm] Dann gilt:
[mm] $$\frac{x_1}{x_2}=\left|\frac{x_1}{x_2}\right|=\frac{|x_1|}{|x_2|} \underset{\text{da }|x_1| \ge 1}{\ge}\frac{1}{|x_2|}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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