Beweis: Quadartische Funktione < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Julisu,
wenn du noch etwas Zeit hast, könnten wir dann weiter über den Beweis für die Symetrie und den Scheiteöpunkt quadratischer Fuktionen reden?
Bitte melde dich mal!
Gruß
Goldener_Sch.
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Erstmal wieder eine dickes DANKESCHÖN! Finde ich richtig nett von dir, dass du dich noch mit solchen Problemen beschäftigst! Die meisten Menschen Antoworten auf soche Fragen nach beweisen nur, dass es eben so seie, dass könne man doch nachlesen, aber ich vertrete da eine ganz, ganz andere Meinung. Also erstmal habe ich gegen diese Deffinition überhaupt rein garnichts!
Im Grunde verstehe ich den Beweis, du willst also am Ende deines Beweis einmal ganz expiziet darauf hinaus, dass folgende Aussage:
[mm] f \left( \bruch{-b}{2a}-z \right) = f \left( \bruch{-b}{2a}+z \right)[/mm]
gilt, oder?
Dies zeigst du durch Einsetzten und erhälst:
[mm] a*z²- \left( \bruch{b²}{4a}+c \right) = a*z²- \left( \bruch{b²}{4a}+c \right) [/mm]
(Ich glaube, du hast an dieser Stelle einen Fehler! Das muss doch
[mm]
b²/4a
[/mm]
heißen! Du hast das a nur mit dem ersten Teil des linken Ausdrucks multipliziert!
..... na, ja weiter im Text. Du sagt auf jeden Fall, dass die oben genannte Aussage richtig ist, da gilt:
[mm] a*z²- \left( \bruch{b²}{4a}+c \right) = a*z²- \left( \bruch{b²}{4a}+c \right) [/mm]
oder?
Somiz haben wir doch die Aussage
[mm] f \left( \bruch{-b}{2a}-z \right) = f \left( \bruch{-b}{2a}+z \right)[/mm]
bewiesen, also die Symetrie der Fuktion, aus welcher sich nun der MIT SICHERHEIT RICHTIGE Scheitelpunkt der Funktionen herleiten läßt, oder?
Noch mal danke, und ich hoffe auf einer Rückantwort!!!
Gruß
Goldener_Sch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 16.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Erstmal wieder eine dickes DANKESCHÖN! Finde ich richtig
> nett von dir, dass du dich noch mit solchen Problemen
> beschäftigst!
Kein Problem, das mache ich doch gerne. 
> Die meisten Menschen Antoworten auf soche
> Fragen nach beweisen nur, dass es eben so seie, dass könne
> man doch nachlesen, aber ich vertrete da eine ganz, ganz
> andere Meinung. Also erstmal habe ich gegen diese
> Deffinition überhaupt rein garnichts!
Gut.
> Im Grunde verstehe ich den Beweis, du willst also am Ende
> deines Beweis einmal ganz expiziet darauf hinaus, dass
> folgende Aussage:
> [mm]f \left( \bruch{-b}{2a}-z \right) = f \left( \bruch{-b}{2a}+z \right)[/mm]
>
> gilt, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dies zeigst du durch Einsetzten und erhälst:
> [mm]a*z²- \left( \bruch{b²}{4a}+c \right) = a*z²- \left( \bruch{b²}{4a}+c \right)[/mm]
>
> (Ich glaube, du hast an dieser Stelle einen Fehler! Das
> muss doch
> [mm]
b²/4a
[/mm]
> heißen! Du hast das a nur mit dem ersten Teil des linken
> Ausdrucks multipliziert!
Das ist völlig richtig ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , vielen Dank für den Hinweis. Ich habe es verbessert.
> ..... na, ja weiter im Text. Du sagt auf jeden Fall, dass
> die oben genannte Aussage richtig ist, da gilt:
> [mm]a*z²- \left( \bruch{b²}{4a}+c \right) = a*z²- \left( \bruch{b²}{4a}+c \right)[/mm]
>
> oder?
> Somiz haben wir doch die Aussage
> [mm]f \left( \bruch{-b}{2a}-z \right) = f \left( \bruch{-b}{2a}+z \right)[/mm]
>
> bewiesen, also die Symetrie der Fuktion, aus welcher sich
> nun der MIT SICHERHEIT RICHTIGE Scheitelpunkt der
> Funktionen herleiten läßt, oder?
Genau. Wir haben vorher definiert, wann ein Punkt ein Scheitelpunkt heißen soll, d.h. wir haben uns eine hinreichende (und notwendige) Bedingung dafür überlegt. Dann haben wir nachgewiesen, dass diese Bedingung von unserem fraglichen Punkt (von dem wir zunächst mal nur vermutet haben, dass er ein Scheitelpunkt ist) gilt, wodurch wir bewiesen haben, dass es sich tatsächlich um einen Scheitelpunkt handelt.
Liebe Grüße
Julius
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Hallo Julius (@ all) !!!
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Ich möchte mich hier AUSDRÜCKLICH nicht auf einen User beschrenken, es wäre nur sehr sinnvoll für mich, mit Julius zu reden, da dies eine Rückfrage ist und er die Vorgeschichte kennt!
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Ich habe wieder hin- und herüblergt und bin zu dem (wahrscheinlich) Traugschluß gekommen, dass dieser Beweis, zwar beweist, dass
[mm] f(p-z) = f(p+z) [/mm] ,
wordruch bewiesen ist, dass die Parabel symetrisch zu einer "behapteten" Geraden [mm]x=\left( \bruch{-b}{2a} \right) [/mm] ist, jedoch nicht, wie in der Deffinition angegeben, dass [mm] f [/mm] diese Eingenschaft genau in dem Punkt [mm] \left( - \frac{b}{2a}/-\frac{b^2}{4a}+c \right) [/mm] aufweist, oder?????????????????????????????????????????????????????
Diese Eigenschaft [mm] f(p-z) = f(p+z) [/mm], wird doch von jedem Punkt auf dieser Geraden erfüllt, oder?????????????????
Totaler Denkfehler? Baue schon den halben Tag an einmem Exel - Rechern für quadratische Funktionen herum, kein Plan, ob ich noch klar denken kann!!!
DANKE für deine Antwort!!!!!!!!
Gruß
Goldener_Sch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Mi 17.08.2005 | | Autor: | Youri |
Hallo, Goldener_Sch.!
Nicht böse sein -
hab Deine Frage in den Ausgangsthread verschoben, damit hier
nicht alles drunter und drüber geht -
keine Sorge, Julius und die anderen werden sie trotzdem sehen
Lieben Gruß,
Andrea.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Mi 17.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Goldener Schnitt!
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> Ich möchte mich hier AUSDRÜCKLICH nicht auf einen User
> beschrenken, es wäre nur sehr sinnvoll für mich, mit Julius
> zu reden, da dies eine Rückfrage ist und er die
> Vorgeschichte kennt!
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Dann ist ja gut, und ich werde mich mal äußern  ...
> Ich habe wieder hin- und herüblergt und bin zu dem
> (wahrscheinlich) Traugschluß gekommen, dass dieser Beweis,
> zwar beweist, dass [mm]f(p-z) = f(p+z)[/mm] ,
> wodurch bewiesen ist, dass die Parabel symetrisch zu einer
> "behapteten" Geraden [mm]x=\left( \bruch{-b}{2a} \right)[/mm] ist,
Richtig!
> jedoch nicht, wie in der Deffinition angegeben, dass [mm]f[/mm]
> diese Eingenschaft genau in dem Punkt [mm]\left( - \frac{b}{2a}/-\frac{b^2}{4a}+c \right)[/mm]
> aufweist, oder?
> Diese Eigenschaft [mm]f(p-z) = f(p+z) [/mm], wird doch von jedem
> Punkt auf dieser Geraden erfüllt, oder?
Da wir ja eine Achsensymmetrie nachgewiesen haben, kann sich die genannte Eigenschaft natürlich nicht nur auf einen Punkt beschränken, sondern gilt für die gesamte Gerade!
Aber es gibt nur einen gemeinsamen Punkt von unserer Spiegelgeraden und der Parabel, und zwar liegt dieser Punkt natürlich bei [mm] $x_S [/mm] \ = \ - [mm] \frac{b}{2a}$.
[/mm]
Den zugehörigen Funktionswert [mm] $y_S$ [/mm] erhalten wir nun durch Einsetzen in die Funktionsgleichung $f(x) = [mm] a*x^2+b*x+c$ [/mm] .
Wir müssen also rechnen:
[mm] $y_S [/mm] \ = \ [mm] f(x_S) [/mm] \ = \ [mm] a*\left(- \frac{b}{2a}\right)^2+b*\left(- \frac{b}{2a}\right)+c [/mm] \ = \ [mm] a*\bruch{b^2}{4a^2} [/mm] - [mm] \bruch{b^2}{2a}+c [/mm] \ = \ [mm] \bruch{b^2}{4a} [/mm] - [mm] \bruch{2b^2}{4a}+c [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{b^2}{2a}+c$
[/mm]
Fertig! Das ist ja genau unsere Behauptung!
![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
ich raffe heute gar nichts mehr, daran liegt das, schon heute zu viel mit Mathematik beschäfitogt, Exel - Rechner erstellen, damit werde ich recht vielen Leuten ne Freuede machen aus meiner Klasse :D!
Egal, jetzt gehts mal ganz von vorne los!
Ich behaupte, eine jede Parabel ist symetrische, sie wird an der Spiegelachse gespiegelt! KLASSE!
Wenn das also Stimmt, dann ergibt sich nach dem Einsetzten:
[mm] x_s=\left( \bruch{-b}{2a} \right) [/mm] .
Darauf folgt unmittelbar, dass die Spiegelachse eine Gerade
[mm] x=\left( \bruch{-b}{2a} \right) [/mm] beschreibt!
Wie ist das zu beweisen? So:
[mm] f \left(x_p - x_s \right)= f \left(x_p + x_s \right) [/mm]
Druch einsetzten in die Scheitelform
[mm] f(x)=a*(x-x_s)²+y_s [/mm]
kann man diese Gleichung zu einer waren Aussage führen. TOLL
Somit habe ich bewiesen, dass die Parabel symetrisch ist und kann rühigen Gewissens den FUNKTIONSWERT von [mm] x_s [/mm] berechnen:
[mm] f(x_s)=a*(\left( \bruch{-b}{2a} \right)-\left( \bruch{-b}{2a} \right))²+c- \left( \bruch{b²}{4a} \right) [/mm]
[mm] f(x_s)=c- \left( \bruch{b²}{4a} \right) [/mm]
TOLL!
Da das ja eine FUNTKTION ist, kann es nun NATÜRLICH nur diesen einen Schnittpunkt der Spiegelachse mit dem Graphen. Nämlich:
[mm] \left( \left( \bruch{-b}{2a} \right) | \left( \bruch{-b²}{4a}+c \right) \right) [/mm]
So, nun kann das nach logischen Denken NUR der tiefste oder höchste Punkt des Graphen, der Parabel sein!!!!!
Aber welcher?! Man gucke auf eine Zeichung und bemerke:
[mm] a<0 [/mm] [mm] \rightarrow [/mm] höchster Punkt und
[mm] a>0 [/mm] [mm] \rightarrow [/mm] tiefster Punkt.
Oder wie????????? (Kann das ein vernünftiger Weg sein?!)
Nochmal eine Zusammenfassung:
-behaupten Parabel ist symetrisch zur einer Spielgelachse
[mm] \rightarrow [/mm] aufgrund dieser Behauptung herleiten, das eine jede Parabel (zweiter Ordung) symetrisch zu einer Geraden
[mm] x=\left( \bruch{-b}{2a} \right) [/mm]
ist.
-Symetie beweisen
[mm] \rightarrow [/mm] die Vorrausgesetze Symerie der Parabel MIT EINER WEITEREN VORRAUSGESETZTEN Eigenschaft ZUSAMMEN, nämlich der Symetrie an der Geraden:
[mm] x=\left( \bruch{-b}{2a} \right) [/mm]
beweisen!
- Gerade (Spiegelachse) MUSS Parbel im Punkt:
[mm] x_s=\left( \bruch{-b}{2a} \right) [/mm] schneiden, dessen Funktionswert bestimmen
[mm] \rightarrow [/mm] Schnittpunkt MUSS höchster oder tiefster Punkt des Parabel (des Graphen) sein!
Es sollte doch möglich sein, dies auch OHNE Differentiealrechnung zu beweisen , oder?????
Nur "ablesen", ist das der richtige Weg?
DANKE FÜR EURE ANTWORTEN!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Gruß
Goldener_Sch.
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