Beweis Perspektive Affinität < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] \alpha [/mm] eine Abbildung der Ebene auf sich. Sei s eine Gerade, [mm] \vec{v} [/mm] ein Vektor und [mm] k\in \IR. \alpha [/mm] verhält sich folgendermaßen: wenn [mm] M\in [/mm] s, so ist [mm] \alpha(M)=M. [/mm] Wenn [mm] N\not\in [/mm] s, so findet man [mm] \alpha(N) [/mm] indem man zunächst eine Gerade n durch N parallel zu [mm] \vec{v} [/mm] zeichnet. Sei [mm] N_{0} [/mm] der Schnittpunkt zwischen n und s. [mm] \alpha(N) [/mm] ist nun jener Punkt auf n, sodass [mm] \bruch{d(N,N_{0})}{d(\alpha(N), N_{0})}=k [/mm] gilt.
Beweise dass [mm] \alpha [/mm] eine Affinität ist! |
Kann mir bitte jemand helfen diesen Beweis zu Ende zu bringen?
Es gibt sicher mehrere Möglichkeiten.
Ich habe es mal so versucht: Gegeben seien 3 kollineare Punkte A, B und C, die nicht auf s liegen. Um zu beweisen dass [mm] \alpha [/mm] eine Affinität ist, muss ich zeigen dass [mm] \alpha(A)=A', \alpha(B)=B' [/mm] und [mm] \alpha(C)=C' [/mm] kollinear sind.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich weiß eigentlich nur, dass [mm] \bruch{d(A,A_{0})}{d(A', A_{0})}=\bruch{d(B,B_{0})}{d(B', B_{0})}=\bruch{d(C,C_{0})}{d(C', C_{0})}=k [/mm] gilt. Um weiterzumachen könnte ich die Strahlen- und/oder Ähnlichkeitssätze benutzen, oder? Aber wie komme ich zum Schluss, dass A', B' und C' kollinear sind? Ich bräuchte eher die Umkehrung dieser Sätze, oder?
Danke an alle, die mir weiterhelfen!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo,
eigentlich ist ja wirklich nur noch zu zeigen, dass [mm] \alpha [/mm] kollinearitätserhaltend ist (aber genau das versuchst du ja).
Die Dreiecke [mm] 0AA_0, 0BB_0 [/mm] und [mm] 0CC_0 [/mm] müssen ähnlich sein, da ja immer in Richtung von [mm] \overrightarrow{v} [/mm] abgebildet wird. Das würde mir als Begründung ausreichen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Danke Diophant.
Um das ganze auf den Punkt zu bringen... Gibt es irgendwie einen Statz der besagt: Wenn die Dreiecke [mm] 0AA_0, 0BB_0 [/mm] und [mm] 0CC_0 [/mm] àhnlich sind, dann sind A', B', C' kollinear.? Oder sollte man nicht etwa die Ähnlichkeit der Dreiecke A'A_0O, B'B_0O, C'C_0O hernehmen?
|
|
|
| |
|
Hallo,
was bedeutet denn Ähnlichkeit? Und bleibt den drei Punkten [mm] A_0, B_0, C_0 [/mm] dann noch etwas anderes übrig, als kollinear zu sein? 
Zur Begründung der Ähnlichkeit kann man schon die letztgenannten Dreiecke heranziehen, deren Ähnlichkeit sofort aus dem 2. Strahlensatz folgt.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Ja das stimmt alles was du sagst, aber ich befùrchte, dass ich mich irgendwie im Kreis drehe. Wenn ich z.B. die Strahlensàtze oder Ähnlichkeitssàtze hernehmen will muss dann nicht schon die Kollinearitàt gegeben sein um dies tun zu kònnen?
|
|
|
| |
|
Hallo,
bei Dreiecken tun es auch zwei gleiche Winkel.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hmm, ich mùsste aber schon beweisen, dass A', B' und C' kollinear sind und nicht [mm] A_0, B_0 [/mm] und [mm] C_0... A_0, B_0 [/mm] und [mm] C_0 [/mm] sind schon wegen der Konstruktion kollinear.
|
|
|
| |
|
Hallo,
nochmal: wann sind zwei Dreiecke ähnlich? Die möglichen Antworten auf diese Frage klären dein Problem vollständig. Man weist damit unmittelbar die Kollinearität von A', B' und C' und -mit der selben Logik - die von [mm] A_0, B_0 [/mm] und [mm] C_0 [/mm] nach.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Ich feile immer noch an diesem Beweis!
O ist der Schnittpunkt der Gerade durch [mm] A_0, B_0 [/mm] und [mm] C_0 [/mm] mit der Gerade durch A, B und C. Mùsste ich nicht auch beweisen, dass die Gerade durch A' und B' (dass sie durch C' geht, muss ich ja beweisen) die Gerade durch [mm] A_0, B_0 [/mm] und [mm] C_0 [/mm] im Punkt O schneidet?
Ich habe bis jetzt dass die Dreiecke [mm] OAA_0, OBB_0 [/mm] und [mm] OCC_0 [/mm] àhnlich sind. Wie komme ich zum Schluss, dass A', B' und C' kollinear sind? Kònnte mir bitte bitte jemand genau jeden Schritt erklàren? Ich glaube fast dass der Beweis zu logisch ist, sodass ich es nicht schaffe sinnvolle Schlùsse zu ziehen!
Danke im Voraus!
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ich habe bis jetzt dass die Dreiecke [mm]OAA_0, OBB_0[/mm] und
> [mm]OCC_0[/mm] àhnlich sind. Wie komme ich zum Schluss, dass A', B'
> und C' kollinear sind?
Jetzt bringst du etwas durcheinander. Die Punkte A'. B' zund C' liegen auf s, das ist so vorgegeben.
Was folgt denn aus den Strahlenätzen für die Verhältnisse
[mm] \bruch{\overline{0A}}{\overline{AA_0}}, \bruch{\overline{0B}}{\overline{BB_0}} [/mm] und [mm] \bruch{\overline{0C}}{\overline{CC_0}}?
[/mm]
Was folgt daraus für die Winkel in den Dreiecken [mm] 0AA_0, 0BB_0 [/mm] und [mm] 0CC_0?
[/mm]
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Sei $ [mm] \alpha [/mm] $ eine Abbildung der Ebene auf sich. Sei s eine Gerade, $ [mm] \vec{v} [/mm] $ ein Vektor und $ [mm] k\in \IR. \alpha [/mm] $ verhält sich folgendermaßen: wenn $ [mm] M\in [/mm] $ s, so ist $ [mm] \alpha(M)=M. [/mm] $ Wenn $ [mm] N\not\in [/mm] $ s, so findet man $ [mm] \alpha(N) [/mm] $ indem man zunächst eine Gerade n durch N parallel zu $ [mm] \vec{v} [/mm] $ zeichnet. Sei $ [mm] N_{0} [/mm] $ der Schnittpunkt zwischen n und s. $ [mm] \alpha(N) [/mm] $ ist nun jener Punkt auf n, sodass $ [mm] \bruch{d(N,N_{0})}{d(\alpha(N), N_{0})}=k [/mm] $ gilt.
Beweise dass $ [mm] \alpha [/mm] $ eine Affinität ist! |
Oh Entschuldigung, da ist mir jetzt in der Zeichnung ein Fehler unterlaufen, mit s meine ich eigentlich die Gerade durch [mm] A_0, B_0 [/mm] und [mm] C_0. [/mm]
Also nochmal die Aufgabenstellung oben.
Ich muss zeigen, dass $ [mm] \alpha(A)=A', \alpha(B)=B' [/mm] $ und $ [mm] \alpha(C)=C' [/mm] $ kollinear sind. Ich weiß nur, dass $ [mm] \bruch{d(A,A_{0})}{d(A', A_{0})}=\bruch{d(B,B_{0})}{d(B', B_{0})}=\bruch{d(C,C_{0})}{d(C', C_{0})}=k [/mm] $ gilt.
Wahrscheinlich habe ich deshalb deine Tipps nicht verstanden. Sorry nochmal fùr die falsche Zeichnung.
Das ist jetzt die richtige.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Wahrscheinlich habe ich deshalb deine Tipps nicht
> verstanden. Sorry nochmal fùr die falsche Zeichnung.
> Das ist jetzt die richtige.
Das macht doch keinen Unterschied: im einen Fall ist k positiv, im anderen negativ, das kann man o.B.d.A zusammen betrachten.
Kennst du das Steigungsdreieck aus der analytischen Geometrie? Falls ja: spielt es eine Rolle, wie groß dieses Dreieck ist oder durchz was genau wird die Steigung gleich wieder definiert?
Das Prinzip ist hier genau das gleiche, bis auf die Tatsache, dass die betrachteten Dreiecke i.a. nicht rechtwinklig sind.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Wenn ich es richtig verstanden habe, muss ich also zeigen dass $ [mm] \bruch{d(A,A')}{d(O,A')}=\bruch{d(B,B')}{d(O,B')}=\bruch{d(C,C')}{d(O,C')}$ [/mm] gilt? Falls ja, wie muss ich vorgehen?
|
|
|
| |
|
Hallo,
du hast irgendwie bisher gedanklich die Tatsache nicht verwendet, dass die Strecken
[mm] \overline{AA'}, \overline{BB'} [/mm] und [mm] \overline{CC'}
[/mm]
parallel sind. Und für den Fall ist man doch mit dem 2. Strahlensatz sofort am Ziel, was genau ist dir denn daran unklar?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Also der 2. Strahlensatz besagt ja, dass
$ [mm] \bruch{d(A,A')}{d(B, B')}=\bruch{d(O,A)}{d(O, B)}=\bruch{d(O,A')}{d(O, B')}$, [/mm]
$ [mm] \bruch{d(A,A')}{d(C, C')}=\bruch{d(O,A)}{d(O, C)}=\bruch{d(O,A')}{d(O, C')}$ [/mm] und
$ [mm] \bruch{d(B,B')}{d(C, C')}=\bruch{d(O,B)}{d(O, C)}=\bruch{d(O,B')}{d(O, C')}$ [/mm]
gelten.
Habe 3 Fragen:
1) Wie komme ich von $ [mm] \bruch{d(A,A_{0})}{d(A', A_{0})}=\bruch{d(B,B_{0})}{d(B', B_{0})}=\bruch{d(C,C_{0})}{d(C', C_{0})}$ [/mm] auf diese 3 Gleichungen?
2) Woher weiss man dass O (=Schnittpunkt zwischen Geraden durch A,B,C und Geraden durch [mm] $A_0,B_0,C_0$) [/mm] auf der Geraden durch A', B', C' (falls diese existiert, das muss ich ja beweisen) liegt?
3) Um den 2. Strahlensatz benutzen zu kònnen, muss da nicht schon die Kollinearitàt als Voraussetzung gegeben sein?
Danke fùr deine Geduld. Bin wohl ein schwieriger Fall...
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Mathematik funktioniert nicht so, dass man alles in irgendwelche Formeln oder Gleichungen reintut und am Ende kommt das Ergebnis heraus.
Nochmal:
Du hast drei Punkte A, B, C auf einer Geraden. Weiter hast du eine Gerade s (Affinitätsachse), sowie die Fußpunkte [mm] A_0, B_0 [/mm] und [mm] C_0 [/mm] auf dieser Achse.
Jetzt begründest du zunächst, dass die drei Dreiecke aus Schnittpunkt O, Punkt und Fußpunkt zueinander ähnlich sind.
Wenn das geschafft ist, dann verlängerst bzw. verkürzt du die Dreieckseiten in Richtung von v jeweils um den Faktor k. Es entstehen drei Dreiecke, von denen man folgendes weiß:
Das Verhältnis zweier Seiten ist jeweils gleich und der Winkel, den diese beiden Seiten miteinander einschließen ist gleich. Also sind die Dreiecke ähnlich und daraus folgt, dass A', B' und C' kollinear sein müssen.
Wenn du den Gedankengang mal nachvollzogen hast, dann kannst du das auch noch mit schönen Gleichungen aufschreiben. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Ok, habe nun gezeigt dass die drei Dreiecke aus Schnittpunkt O, Punkt und Fußpunkt zueinander ähnlich sind. Ist nicht schwierig.
Wenn man nun die Dreieckseiten in Richtung von v jeweils um den Faktor k verkùrzt entstehen die drei Dreiecke OAA', OBB' und OCC'.
Wegen dem 2. Strahlensatz habe ich dann [mm] $\bruch{OA}{OB}=\bruch{OA'}{OB'}$, [/mm] oder?
Meine Frage ist immer dieselbe: Muss die Kollinearitàt von A', B', C' nicht schon gegeben sein, damit ich den 2. Strahlensatz benutzen darf?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Meine Frage ist immer dieselbe: Muss die Kollinearitàt
> von A', B', C' nicht schon gegeben sein, damit ich den 2.
> Strahlensatz benutzen darf?
wenn du das Kind unbedingt Strahlensatz nennen möchtest: nein, sie muss nicht gegeben sein. Die Strahlensätze sind äquivalent zur Ähnlichkeit, also kann man auch anderherum schließen. Man sagt dann für gewöhnlich, dass man mit den Ähnlichkeitssätzen für Dreiecke argumentiert. Denn genau wie bei den Kongruenzsätzen, lässt sich ja ganz genau formulieren, wann zwei Dreiecke ähnlich sind. Und wenn sie ähnlich sind, und zwei entsprechende Seiten sind parallel, dann müssen die anderen Seite jeweils auch parallel sein. Wenn außerdem zwei ähnliche Dreiecke - so wie hier - einen gemeinsamen Punkt haben und ein Paar entsprechender Seiten ist kollinear, dann muss es natürlich noch ein zweites Paar von Seiten geben, für das ebenfalls gilt. Und das sind dann eben die Strecken 0A', 0B' und 0C'.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
In deiner vorletzten Antwort schreibst du:
"Es entstehen drei Dreiecke, von denen man folgendes weiß: Das Verhältnis zweier Seiten ist jeweils gleich und der Winkel, den diese beiden Seiten miteinander einschließen ist gleich."
Das muss ich schon begrùnden oder? Ok, dass der Winkel gleich ist ist offensichtlich, aber wie begrùnde ich dass das Verhältnis zweier Seiten gleich ist?
In deiner letzten Antwort schreibst du:
"Wenn außerdem zwei ähnliche Dreiecke - so wie hier - einen gemeinsamen Punkt haben und ein Paar entsprechender Seiten ist kollinear, dann muss es natürlich noch ein zweites Paar von Seiten geben, für das ebenfalls gilt."
Was meinst du mit kollinearen Seiten?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> In deiner vorletzten Antwort schreibst du:
> "Es entstehen drei Dreiecke, von denen man folgendes
> weiß: Das Verhältnis zweier Seiten ist jeweils gleich und
> der Winkel, den diese beiden Seiten miteinander
> einschließen ist gleich."
> Das muss ich schon begrùnden oder? Ok, dass der Winkel
> gleich ist ist offensichtlich, aber wie begrùnde ich dass
> das Verhältnis zweier Seiten gleich ist?
Da muss man einfach nur auf die bereits gezeigte Ähnlichkeit der Dreiecke zwischen der Geraden durch A, B und C und s hinweisen und auf den laut Aufgabenstellung vorgegebenen Faktor k.
>
> In deiner letzten Antwort schreibst du:
> "Wenn außerdem zwei ähnliche Dreiecke - so wie hier -
> einen gemeinsamen Punkt haben und ein Paar entsprechender
> Seiten ist kollinear, dann muss es natürlich noch ein
> zweites Paar von Seiten geben, für das ebenfalls gilt."
> Was meinst du mit kollinearen Seiten?
Zwei Strecken heißen kollinear, wenn sie auf einer gemeinsamen Geraden liegen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Kannst du bitte mal kontrollieren ob z.B. dieser Beweis funktionieren wùrde?
Man nehme die Gerade durch A' und B' und man nenne sie g. Nehmen wir an, dass g die Gerade durch A, B, und C in O schneidet. Man muss nun zeigen, dass [mm] $C'\in [/mm] g$. Die Dreiecke OBB' und OCC' sind àhnlich, weil:
1) Winkel OBB' = Winkel OCC'
2) Winkel B'OB = Winkel C'OC
3) Winkel OB'B = Winkel OC'C.
Weil die Dreiecke OBB' und OCC' àhnlich sind, kònnen wir sagen, dass B' und C' auf der selben Gerade liegen mùssen, daher [mm] $C'\in [/mm] g$.
Danke.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Kannst du bitte mal kontrollieren ob z.B. dieser Beweis
> funktionieren wùrde?
>
> Man nehme die Gerade durch A' und B' und man nenne sie g.
> Nehmen wir an, dass g die Gerade durch A, B, und C in O
> schneidet. Man muss nun zeigen, dass [mm]C'\in g[/mm]. Die Dreiecke
> OBB' und OCC' sind àhnlich, weil:
> 1) Winkel OBB' = Winkel OCC'
> 2) Winkel B'OB = Winkel C'OC
> 3) Winkel OB'B = Winkel OC'C.
> Weil die Dreiecke OBB' und OCC' àhnlich sind, kònnen wir
> sagen, dass B' und C' auf der selben Gerade liegen mùssen,
> daher [mm]C'\in g[/mm].
das ist IMO so, als wenn du sagen würdest: die zwei Dreiecke sind ähnlich, weil sie ähnlich sind.
Es gibt sicherlich viele möglichkeiten, wie man die Argumentation aufziehen kann: aber eines wird allen diesen Möglichkeiten gemeinsam sein:
- die Winkel an den Punkten A, B und C sind gleich groß, da parallel zu v abgebildet wird.
- der Faktor k muss in der Argumentation herangezogen werden.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Ok, dann probiere ich es vieleicht so:
Man nehme die Gerade durch A' und B' und man nenne sie g. Nehmen wir an, dass g die Gerade durch A, B, und C in O schneidet. Man muss nun zeigen, dass $ [mm] C'\in [/mm] g $.
Die Dreiecke OBB' und OCC' sind àhnlich, weil:
1) Winkel OBB' = Winkel OCC'
2) [mm] $\bruch{OB}{OC}=\bruch{BB'}{CC'}$
[/mm]
Diese 2. Gleichung folgt aus folgenden ùberlegungen:
Hypothese: [mm] $\bruch{BB_0}{B'B_0}=\bruch{CC_0}{C'C_0}=k$.
[/mm]
Deshalb [mm] $\bruch{BB_0}{CC_0}=\bruch{B'B_0}{C'C_0}=k$. [/mm] (1)
Die Dreiecke $BB_0O$ und $CC_0O$ sind àhnlich.
Deshalb: [mm] $\bruch{OB}{OC}=\bruch{BB_0}{CC_0}\overbrace{=}^{wegen (1)}k$.
[/mm]
Weiters: [mm] $\bruch{BB'}{CC'}=\bruch{|BB_0-B'B_0|}{|CC_0-C'C_0|}=\bruch{k*|CC_0-C'C_0|}{|CC_0-C'C_0|}=k.$
[/mm]
Weil die Dreiecke OBB' und OCC' àhnlich sind, kònnen wir sagen, dass B' und C' auf der selben Gerade liegen mùssen, daher $ [mm] C'\in [/mm] g $.
Kònnte das jetzt so stimmen?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Kònnte das jetzt so stimmen?
Das sieht besser aus. Ich gehe es mal im Einzelnen durch:
> Ok, dann probiere ich es vieleicht so:
>
> Man nehme die Gerade durch A' und B' und man nenne sie g.
> Nehmen wir an, dass g die Gerade durch A, B, und C in O
> schneidet. Man muss nun zeigen, dass [mm]C'\in g [/mm].
Ok, das ist ein klar formulierter und zielführender Ansatz.
>
> Die Dreiecke OBB' und OCC' sind àhnlich, weil:
> 1) Winkel OBB' = Winkel OCC'
> 2) [mm]\bruch{OB}{OC}=\bruch{BB'}{CC'}[/mm]
Richtig, genau so meinte ich das!
> Diese 2. Gleichung folgt aus folgenden ùberlegungen:
> Hypothese: [mm]\bruch{BB_0}{B'B_0}=\bruch{CC_0}{C'C_0}=k[/mm].
Das brauchst du nicht Hypothese zu nennen, dass gilt nach Voraussetzung!
Und wie ich unten ausführen werde, du bist hier im Prinzip schon fertig!
> Deshalb [mm]\bruch{BB_0}{CC_0}=\bruch{B'B_0}{C'C_0}=k[/mm]. (1)
Ab hier wird es wieder völlig falsch. Die Punkte B und C sind frei wählbar, daher kann obige Gleichung (1) niemals einen konstanten Wert annehmen.
> Die Dreiecke [mm]BB_0O[/mm] und [mm]CC_0O[/mm] sind àhnlich.
> Deshalb:
> [mm]\bruch{OB}{OC}=\bruch{BB_0}{CC_0}\overbrace{=}^{wegen (1)}k[/mm].
>
> Weiters:
> [mm]\bruch{BB'}{CC'}=\bruch{|BB_0-B'B_0|}{|CC_0-C'C_0|}=\bruch{k*|CC_0-C'C_0|}{|CC_0-C'C_0|}=k.[/mm]
>
> Weil die Dreiecke OBB' und OCC' àhnlich sind, kònnen wir
> sagen, dass B' und C' auf der selben Gerade liegen mùssen,
> daher [mm]C'\in g [/mm].
>
Das das auf deiner Gleichung (1) aufbaut, kann es IMO auch nicht stimmen.
Wie gesagt, bis dahin, wo ich es noch bestätige, ist alles richtig. Und das reicht doch auch aus; denn nochmals:
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei entsprechende Seiten im mgleichen Verhältnisstehen und der von ihnen eingeschlossene Winkel gleich ist
Das kann man übrigens unmittelbar aus dem Kongruenzsatzt SWS ableiten.
Gruß, Diopahnt
|
|
|
| |
|
Ja, ich verstehe, aber muss ich nicht beweisen, dass $ [mm] \bruch{OB}{OC}=\bruch{BB'}{CC'} [/mm] $ gilt?
|
|
|
| |
|
Hallo,
es ist
[mm] \bruch{\overline{0B}}{\overline{BB_0}}=\bruch{\overline{0C}}{\overline{CC_0}}
[/mm]
nach Voraussetzung.
Weiter haben wir
[mm] \overline{BB'}=k*\overline{BB_0}, \overline{CC'}=k*\overline{CC_0}
[/mm]
und daraus folgt doch alles.
PS: ich habe weiter oben in einem Beitrag von dir etwas herumeditiert um den Dateinahang sichtbar zu machen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Ok, alles klar.
Muss ich nicht auch beweisen, dass die Gerade durch A' und B' die Gerade durch [mm] $A_0$, $B_0$ [/mm] und [mm] $C_0$ [/mm] genau in O (=Schnittpunkt zwischen Geraden durch A,B,C und Geraden durch [mm] $A_0$,$B_0$,$C_0$) [/mm] schneidet?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ok, alles klar.
>
> Muss ich nicht auch beweisen, dass die Gerade durch A' und
> B' die Gerade durch [mm]A_0[/mm], [mm]B_0[/mm] und [mm]C_0[/mm] genau in O
> (=Schnittpunkt zwischen Geraden durch A,B,C und Geraden
> durch [mm]A_0[/mm],[mm]B_0[/mm],[mm]C_0[/mm]) schneidet?
>
Das kann man kurz begründen, es beweisen zu nennen wäre dann doch etwas zu hoch gegriffen. Denn: wohin werden Punkte abgebildet, die auf s liegen (du solltest unbedingt lernen, eine Aufgabenstellung besser im Ganzen zu sehen, nicht nur in ihren Einzelteilen!)?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Noch eine Frage:
Sobald ich schreibe: Die Dreiecke OBB' und OCC' (zur Erinnerung O=Schnittpunkt zwischen Geraden durch [mm] $A_0$,$B_0$,$C_0$ [/mm] und Geraden durch A',B') sind àhnlich, muss ich da nicht schon gegeben haben, dass C' auf der Geraden durch A',B' liegt? Ansonsten erhalte ich ja nichteinmal ein Dreieck, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Noch eine Frage:
> Sobald ich schreibe: Die Dreiecke OBB' und OCC' (zur
> Erinnerung O=Schnittpunkt zwischen Geraden durch
> [mm]A_0[/mm],[mm]B_0[/mm],[mm]C_0[/mm] und Geraden durch A',B') sind àhnlich, muss
> ich da nicht schon gegeben haben, dass C' auf der Geraden
> durch A',B' liegt? Ansonsten erhalte ich ja nichteinmal ein
> Dreieck, oder?
Welche Vosrtellung hast du von der Ähnlichkeit von Dreiecken? Wann nennt man zwei Dreiecke ähnlich?
Ich könnte auch zurückfragen, was dir an meiner Vervollständigung deines Beweisversuches unklar ist, aber wir drehen uns hier ziemlich im Kreis, und ich denke, du solltest dir nochmal die Kongruenzsätze für Dreiecke zu Gemüte führen und ihren Zusammenhang zu den Ähnlichkeitssätzen, dann wären alle diese Rückfragen hoffentlich mit einem Schlag geklärt.
Aber ich möchte nochmal verbal zusammenfassen:
- Die Dreiecke [mm] 0AA_0, 0BB_0 [/mm] und [mm] 0CC_0 [/mm] sind ähnlich, da A, B und C kollinear gewählt wurden.
- Die betrachtete Abbildung staucht bzw. streckt jetzt die in Richtung von v liegenden Dreieckseiten um den Faktor k. Dabei ändern sich zwar für die Dreiecke 0AA', 0BB' und 0CC' die Seitenverhältnisse, aber sie tun dies jeweils um den gleichen Faktor. Daraus folgt wiederum unmittelbar die Ähnlichkeit der Dreiecke 0AA', 0BB' und 0CC', damit sind A', B' und C' kollinear und daraus wiederum folgt, dass [mm] \alpha [/mm] eine affine Abbildung ist.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
