Beweis Multiplikationsformel < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:05 Mo 11.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega,F,P) [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für Ereignisse [mm] A_1,..., A_n\in [/mm] F gilt:
[mm] P(\bigcap_{i=1}^{n} A_i)= P(A_n)* \prod_{i=1}^{n-1} P(A_i| \bigcap_{j=i+1}^{n} A_j) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute,
die Aufgabe an sich ist nicht sonderlich schwer, allerdings hakt es dennoch etwas beim Induktionsschritt und es wär klasse, wenn mir jemand helfen könnte. Also Induktionsanfang und -voraussetzung sind klar. Beim Induktionsschritt von k-1 nach k habe ich mir bisher folgendes überlegt:
[mm] P(\bigcap_{i=1}^{k} A_i)= P((A_1 \cap...\cap A_{k-1})\cap A_k) \stackrel{\mathrm{Multiplikationssatz}}= P(A_1 \cap...\cap A_{k-1})* P(A_k| (A_1 \cap...\cap A_{k-1})) \stackrel{\mathrm{IV}}= P(A_{k-1})* \prod_{i=1}^{k-2} P(A_i| \bigcap_{j=i+1}^{k-1} A_j)* P(A_k| (A_1 \cap...\cap A_{k-1}))= [/mm] ?
Naja hier weiß ich nicht weiter, weil ich keinen Weg sehe das Teil irgendwie zu vereinigen Wie gesagt wär toll, wenn jemand helfen könnte. Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Mo 11.05.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich bin's 
Ich wuerde gerne den Notationsoverkill vermeiden und die Behauptung ausformformulieren. Z.z. ist
[mm] P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_n)P(A_{n-1}\mid A_{n})P(A_{n-2}\mid A_{n-1}\cap A_n)\cdots P(A_{1}\mid A_2\cap\dots \cap A_{n-1}\cap A_n).
[/mm]
Der IA ist klar. Die Formel gelte fur n. Z.z. ist
[mm] P(A_1\cap\dots\cap A_n\cap A_{n+1})=P(A_{n+1})P(A_{n}\mid A_{n+1})P(A_{n-1}\mid A_{n}\cap A_{n+1})\cdots P(A_{1}\mid A_2\cap\dots \cap A_{n}\cap A_{n+1}).
[/mm]
Es ist
[mm] $P(A_1\cap\dots\cap A_n\cap A_{n+1})=P((A_1\cap A_{n+1})\cap\cdots\cap (A_n\cap A_{n+1}))=\ldots$
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Mo 11.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hey so trifft man sich wieder  .
Also ich hab den Hinweis aufgegriffen und nun damit den Induktionsschritt nochmals versucht, allerdings gibts auch hier Probleme.
Es gilt doch:
[mm] P(A_1\cap\dots\cap A_n\cap A_{n+1})=P((A_1\cap A_{n+1})\cap\cdots\cap (A_n\cap A_{n+1}))\stackrel{\mathrm{IV}}=P(A_n\cap A_{n+1})*\prod_{i=1}^{n-1} P((A_i\cap A_{n+1})\mid\bigcap_{j=i+1}^{n} (A_j\cap A_{n+1}))=P(A_n\mid A_{n+1})*P(A_{n+1})*\prod_{i=1}^{n-1} P((A_i\cap A_{n+1})\mid\bigcap_{j=i+1}^{n+1} A_j)
[/mm]
Das ist schon beinhahe das was man zeigen soll, aber ich hab in dem Prdokut immer noch das [mm] A_{n+1} [/mm] drin und das müsste noch weg, wobei ich im Moment nicht sehe wie ich das bewerkstellige. Ein Tipp wäre hilfreich. Danke schon mal für die Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Mo 11.05.2009 | | Autor: | luis52 |
Ich behaupte, fuer Ereignisse $A,B,C$ gilt [mm] $P(A\cap B\mid C\cap B)=P(A\mid C\cap [/mm] B)$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mo 11.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ja ich bin der Meinung das müsste stimmen und unter dieser Annahme ist der Induktionsschritt dann ja auch schon fertig. Bedenken habe jetzt ich nur noch in Sachen Induktionsvoraussetzung. Kann ich die überhaupt so anwenden wie ich es gemacht hab, denn eigentlich lautet die Induktionsvoraussetzung ja $ [mm] P(\bigcap_{i=1}^{n} A_i)= P(A_n)\cdot{} \prod_{i=1}^{n-1} P(A_i| \bigcap_{j=i+1}^{n} A_j) [/mm] $ also sprich ohne dass zusätzlich mit [mm] A_{n+1} [/mm] geschnitten wird. Ist mein Vorgehen dann trotzdem korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Mo 11.05.2009 | | Autor: | luis52 |
Wo ist das Problem? Die IV besagt, dass die Gleichung $ [mm] P(\bigcap_{i=1}^{n} B_i)= P(B_n)\cdot{} \prod_{i=1}^{n-1} P(B_i| \bigcap_{j=i+1}^{n} B_j) [/mm] $ fuer alle Ereignisse [mm] $B_i$ [/mm] gilt, also insbesondere fuer [mm] $B_i=A_i\cap A_{n+1}$. [/mm] Oder verstehe ich dich miss?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 11.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ja doch genau das wollte ich wissen. Gut dann ist jetzt alles klar! Meine Vorstellung zur Verwendung der IV war wohl einfach etwas zu eingeschränkt. Dann vielen Dank nochmal und schönen Abend noch.
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