Beweis Konvergenz E'wert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 So 04.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Falls [mm] (A_n)_{n\ge{0}} [/mm] eine Folge von Ereignissen ist mit [mm] \lim_{n\to{\infty}} P[A_n]=0 [/mm] und X eine Zufallsvariable auf demselben
Wahrscheinlichkeitsraum mit [mm] E[X^2]<\infty, [/mm] so ist [mm] \lim_{n\to{\infty}} [/mm] E [mm] [X1_{A_n}]=0. [/mm] |
Hallo Leute,
also zunächst war die Idee, dass ich irgendwie die Unabhängigkeit von [mm] 1_{A_n} [/mm] und X zeigen könnte, woraus dann folgt
[mm] \lim_{n\to{\infty}} E[X1_{A_n}]=\lim_{n\to{\infty}} E[X]E[1_{A_n}]=\lim_{n\to{\infty}} E[X]\cdot{}\lim_{n\to{\infty}} E[1_{A_n}]=0.
[/mm]
Die Frage ist aber nun wie ich die Unabhängigkeit hinbekomme, oder ob das doch Blödsinn ist und das ganze auf anderem Wege zu zeigen ist.
Wär klasse, wenn jemand an Tipp geben könnte!
Vielen Dank schon mal.
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Huhu,
im Allgemeinen werden die gar nicht unabhängig sein, allerdings weißt du ja:
[mm] |X*1_{A_n}| \le [/mm] |X| und [mm] $X*1_{A_n} \to [/mm] 0 [mm] \, \IP [/mm] f.s.$
Was sagt der Satz von der majorisierten Konvergenz dazu?
MFG;
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 So 04.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
> [mm]|X*1_{A_n}| \le[/mm] |X| und [mm]X*1_{A_n} \to 0 \, \IP f.s.[/mm]
Okay den ersten Teil kann ich noch nachvollziehn, aber woher weiß ich, dass [mm] X*1_{A_n} [/mm] fast sicher gegen 0 konvergiert??
Der Satz der dominierte Konvergenz sagt mir dann ja, dass [mm] \lim_{n\to{\infty}} E[X1_{A_n}]=E[X]=E[0]=0.
[/mm]
Stimmt das dann so?
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Hiho,
> Okay den ersten Teil kann ich noch nachvollziehn, aber
> woher weiß ich, dass [mm]X*1_{A_n}[/mm] fast sicher gegen 0
> konvergiert??
Das [mm] $1_{A_n} \to [/mm] 0 [mm] \IP [/mm] f.s.$ folgt ja direkt daraus, dass [mm] $P[A_n] \to [/mm] 0$ geht.
Da X nicht von n abhängt damit auch [mm] $X1_{A_n} \to [/mm] 0$, oder was ist dir dabei unklar?
> Der Satz der dominierte Konvergenz sagt mir dann ja, dass
> [mm]\lim_{n\to{\infty}} E[X1_{A_n}]=E[X]=E[0]=0.[/mm]
Naja, das E[X] da mittendrin ist irgendwie falsch..... der Satz sagt halt, dass du den Grenzwert in den Erwartungswert reinziehen kannst.
Interessanterweise braucht man dafür aber [mm] $E[X^2] [/mm] < 1$ nicht, bzw nur indirekt.
Es hätte auch ausgereicht zu wissen E[X] existiert.
MFG,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:56 So 04.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay vielen Dank.
Naja mir ist unklar warum aus [mm] P[A_n] \to [/mm] 0 sofort folgt, dass [mm] 1_{A_n} \to [/mm] 0 fast sicher.
Könntest du mir da auf die Sprünge helfen? Dank dir vielmals!
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Huhu,
Es gilt doch:
[mm] $A_n [/mm] = [mm] \{\omega\in\Omega | 1_{A_n}(\omega) = 1\}$
[/mm]
bzw.
[mm] $A_n^c [/mm] = [mm] \{\omega\in\Omega | 1_{A_n}(\omega) = 0\}$
[/mm]
Nun gilt aber:
$0 = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(A_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(1_{A_n} [/mm] = 1)$
bzw
$1 = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(1_{A_n} [/mm] = 0)$
Hm ok, das ist jetzt nur Konvergenz dem Maß nach und nicht [mm] \IP [/mm] f.s. Konvergenz...... insofern erstmal schlecht.
Ich lass die Frage erstmal auf teilweise beantwortet.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 06.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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