Beweis Kompakte Mengen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Sa 24.04.2010 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | Es sei (X,d) ein metrischer raum, man beweise:
In X seien endliche Vereinigungen und bel. Durchschnitte kompakter Mengen kompakt. |
Hallo,
ich soll die obige Behauptung(eigentlich ja zwei) beweisen. Mein Problem ist folgendes:
Unsere Definition für kompakt war, dass jede Folge der Menge einen Häufungspunkt inder Menge hat.
Ich weiß nur nicht wie ich dann anfangen soll, vermutlich:
Wir haben endlch viele Mengen, die kompakt sind, also deren Folgen jeweils einen Häufungspukt haben. Vereinigen wir diese Mengen, haben wir eine Menge, die ebenfalls einen Häufungspunkt hat und daher kompakt ist!?
Aber diese Menge hat doch dann mehrere und das ist es eben was ich nicht verstehe - ich denke, ich denke zu grob , aber wo und warum?
Vielen Dank für jede Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Sa 24.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Es sei (X,d) ein metrischer raum, man beweise:
>
> In X seien endliche Vereinigungen und bel. Durchschnitte
> kompakter Mengen kompakt.
> Hallo,
>
> ich soll die obige Behauptung(eigentlich ja zwei) beweisen.
> Mein Problem ist folgendes:
> Unsere Definition für kompakt war, dass jede Folge der
> Menge einen Häufungspunkt inder Menge hat.
> Ich weiß nur nicht wie ich dann anfangen soll,
Du nimmst eine Folge in der Vereinigung/Schnitt und zeigst, das erstens diese einen HP hat, und zweitens dieser dort drin liegt.
> vermutlich:
>
> Wir haben endlch viele Mengen, die kompakt sind, also deren
> Folgen jeweils einen Häufungspukt haben.
Folgen von kompakten Mengen? Ist hier nicht gefragt ...
> Vereinigen wir
> diese Mengen, haben wir eine Menge, die ebenfalls einen
> Häufungspunkt hat und daher kompakt ist!?
Häh? Ich verstehe kein Wort!
> Aber diese Menge hat doch dann mehrere und das ist es eben
> was ich nicht verstehe - ich denke, ich denke zu grob ,
> aber wo und warum?
Deine Gedanken sind frei - wer kann sie erraten? *pfeif* Ich verstehe sie jedenfalls nicht :)
SEcki
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:02 So 25.04.2010 | | Autor: | LariC |
> > Es sei (X,d) ein metrischer raum, man beweise:
> >
> > In X seien endliche Vereinigungen und bel. Durchschnitte
> > kompakter Mengen kompakt.
> > Hallo,
> >
> > ich soll die obige Behauptung(eigentlich ja zwei) beweisen.
> > Mein Problem ist folgendes:
> > Unsere Definition für kompakt war, dass jede Folge der
> > Menge einen Häufungspunkt inder Menge hat.
> > Ich weiß nur nicht wie ich dann anfangen soll,
>
> Du nimmst eine Folge in der Vereinigung/Schnitt und zeigst,
> das erstens diese einen HP hat, und zweitens dieser dort
> drin liegt.
>
Mmmhh...aber haben diese Folgen, die wir wählen nicht ehe einen Häufungspunkt ,der in ihnen drin liegt, da das laut Kompaktheitsbegriff so definert ist!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 So 25.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Mmmhh...aber haben diese Folgen, die wir wählen nicht ehe
> einen Häufungspunkt ,der in ihnen drin liegt, da das laut
> Kompaktheitsbegriff so definert ist!?
HP von Folgen in Folgen? Bitte was?!? Ich verstehe kein Wort.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 So 25.04.2010 | | Autor: | LariC |
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> HP von Folgen in Folgen? Bitte was?!? Ich verstehe kein
> Wort.
>
Ne...ich rede von HP von Folgen in kompakten Mengen!!??
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Hallo!
Ich schlage vor, wir beginnen nochmal von vorn, da ich eurer Diskussion nicht folgen kann 
Ihr habt folgende Definition für Kompaktheit (Man nennt sie Folgenkompaktheit):
"Jede Folge aus der Menge besitzt einen Häufungspunkt in der Menge".
Habt ihr eventuell gezeigt, dass das bedeutet, dass es eine konvergente Teilfolge gibt? Dann fände ich das einfacher...
Nun beschäftigen wir uns zuerst mal mit dem leichteren, dem Durchschnitt beliebig vieler kompakter Mengen. Sei dazu [mm] (X_{i})_{i\in I} [/mm] eine Menge beliebig vieler kompakter Mengen.
Sei nun [mm] $(x_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] eine Folge in [mm] $\bigcap_{i\in I}X_{i}$, [/mm] also in dem Schnitt all dieser kompakten Mengen.
Das bedeutet: [mm] $(x_{n})_{n}\in\IN$ [/mm] ist auch eine Folge in jedem der [mm] X_{i} [/mm] für [mm] $i\in [/mm] I$.
...
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 So 25.04.2010 | | Autor: | LariC |
> Hallo!
>
> Ich schlage vor, wir beginnen nochmal von vorn, da ich
> eurer Diskussion nicht folgen kann
Hey,
Ja ich glaube auch das das besser ist!
> Ihr habt folgende Definition für Kompaktheit (Man nennt
> sie Folgenkompaktheit):
>
> "Jede Folge aus der Menge besitzt einen Häufungspunkt in
> der Menge".
> Habt ihr eventuell gezeigt, dass das bedeutet, dass es
> eine konvergente Teilfolge gibt? Dann fände ich das
> einfacher...
Ich glaube nicht, wir haben nur folgendes noch über kompakte Teilmengen gesagt, nämlich das Teilmengen gerade kompakt sind, wenn jede Folge in ihnen einen HP in ihr hat...aber ich finde das ist der 1. Def doch sehr ähnlich, außer das man nicht mehr den metrischen Raum, sondern die Teilmenge selbst als kompakt definiert.
> Nun beschäftigen wir uns zuerst mal mit dem leichteren,
> dem Durchschnitt beliebig vieler kompakter Mengen. Sei dazu
> [mm](X_{i})_{i\in I}[/mm] eine Menge beliebig vieler kompakter
> Mengen.
>
> Sei nun [mm](x_{n})_{n\in\IN}[/mm] eine Folge in [mm]\bigcap_{i\in I}X_{i}[/mm],
> also in dem Schnitt all dieser kompakten Mengen.
>
> Das bedeutet: [mm](x_{n})_{n}\in\IN[/mm] ist auch eine Folge in
> jedem der [mm]X_{i}[/mm] für [mm]i\in I[/mm].
Wobei ja in jedem der [mm] X_i [/mm] ein HP der Folge [mm] (x_n) [/mm] liegt, da [mm] X_i [/mm] ja kompakt ist.
Der Durchschnitt muss, damit er kompakt ist aber mind. einen HP haben und da es sich um den Durchschnitt handelt müssen mind. 2 HP der einzelnen kompakten Mengen identisch sein und da lag mein Problem...
Denn wie soll ich das zeigen? es sei denn ich gehe davon aus, dass der Durchschnitt sleber ja dann eine HP enthält, bare dann wüsste ich nicht, warum ich das behaupten darf!
> Grüße,
> Stefan
Grüße zurück
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Hallo,
> > Ihr habt folgende Definition für Kompaktheit (Man nennt
> > sie Folgenkompaktheit):
> >
> > "Jede Folge aus der Menge besitzt einen Häufungspunkt in
> > der Menge".
> > Habt ihr eventuell gezeigt, dass das bedeutet, dass es
> > eine konvergente Teilfolge gibt? Dann fände ich das
> > einfacher...
> Ich glaube nicht, wir haben nur folgendes noch über
> kompakte Teilmengen gesagt, nämlich das Teilmengen gerade
> kompakt sind, wenn jede Folge in ihnen einen HP in ihr
> hat...aber ich finde das ist der 1. Def doch sehr ähnlich,
> außer das man nicht mehr den metrischen Raum, sondern die
> Teilmenge selbst als kompakt definiert.
Mmh...
Schlechte Ausbeute.
> > Sei dazu
> > [mm](X_{i})_{i\in I}[/mm] eine Menge beliebig vieler kompakter
> > Mengen.
> >
> > Sei nun [mm](x_{n})_{n\in\IN}[/mm] eine Folge in [mm]\bigcap_{i\in I}X_{i}[/mm],
> > also in dem Schnitt all dieser kompakten Mengen.
> >
> > Das bedeutet: [mm](x_{n})_{n}\in\IN[/mm] ist auch eine Folge in
> > jedem der [mm]X_{i}[/mm] für [mm]i\in I[/mm].
>
> Wobei ja in jedem der [mm]X_i[/mm] ein HP der Folge [mm](x_n)[/mm] liegt, da
> [mm]X_i[/mm] ja kompakt ist.
>
> Der Durchschnitt muss, damit er kompakt ist aber mind.
> einen HP haben und da es sich um den Durchschnitt handelt
> müssen mind. 2 HP der einzelnen kompakten Mengen identisch
> sein und da lag mein Problem...
> Denn wie soll ich das zeigen? es sei denn ich gehe davon
> aus, dass der Durchschnitt sleber ja dann eine HP enthält,
> bare dann wüsste ich nicht, warum ich das behaupten darf!
Mir fällt gerade auch nichts brauchbares ein - bzw. fände ich es schöner, wenn du die "wahre" Definition von Folgenkompaktheit mit der konvergenten Teilfolge benutzen könntest.
Probieren wir es trotzdem mit deiner Definition:
Da wir annehmen können, dass die Indexmenge I nicht leer ist, nehmen wir uns jetzt also ein konkretes [mm] X_{i} [/mm] vor. Da [mm] X_{i} [/mm] kompakt, hat die Folge [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] dort einen Häufungspunkt x. Aus [mm] $(x_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] können wir nun sukzessive eine Teilfolge [mm] (x_{n_{k}})_{k\in\IN} [/mm] von [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] konstruieren, die nur x als Häufungspunkt besitzt, z.B. folgendermaßen:
Für jedes [mm] k\in\IN [/mm] suchen wir ein [mm] n_{k}\in \IN, [/mm] so dass gilt:
[mm] $\left|x_{n_{k}}-x\right| [/mm] < [mm] \frac{1}{k}$
[/mm]
(Dies ist möglich, weil x Häufungspunkt von [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] ). Diese Beweistechnik ist jetzt von dem Satz "Zu jedem HP einer Folge gibt es eine konvergente Teilfolge, die gegen diesen HP konvergiert", abgeguckt.
Die Folge [mm] (x_{n_{k}})_{k\in\IN} [/mm] befindet sich nun natürlich insbesondere in allen anderen [mm] X_{j}, [/mm] weil sie Teilfolge der Folge [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] ist, die sich in allen [mm] X_{j} [/mm] befindet.
Da die [mm] X_{j} [/mm] kompakt sind, hat die Folge [mm] (x_{n_{k}})_{k\in\IN} [/mm] in jedem der [mm] X_{j} [/mm] einen Häufungspunkt. Da jedoch [mm] (x_{n_{k}})_{k\in\IN} [/mm] nur einen Häufungspunkt besitzt, kann es sich dabei jeweils nur um x handeln.
Damit liegt x in allen [mm] X_{j}, [/mm] also insbesondere in [mm] $\bigcap_{i\in I}X_{i}$.
[/mm]
Da x ein HP der Folge [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] (Siehe Konstruktion beim Teil mit [mm] X_{i}) [/mm] ist, ist die Definition der Kompaktheit für [mm] \bigcap_{i\in I}X_{i} [/mm] erfüllt.
Hast du das Beweisprinzip verstanden?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 So 25.04.2010 | | Autor: | LariC |
> Hast du das Beweisprinzip verstanden?
Hat zwar etwas gedauert - aber ich denk im groben ja :)
Allerdings wie gesagt - im Groben - ein paar Kleinigkeiten habe ich noch:
1) Warum müssen wir annehmen I sei nicht leer, wenn wir schon den Schnitt von mehrere Mengen betrachten.
Wenn wir das schon tun, müsssten wir doch noch darauf verweisen, dass in diesm Fall gar kein Durchschnitt existiert,oder?
2.)Ich verste den Unterschied zwischen der Folge [mm] (x_n) n\in [/mm] IN, die einen HP x hat und den der Teilfolge (x_nk) [mm] k\in [/mm] IN noch nicht so ganz, da diese ja auch nur x als HP hat - warum können wir dann nicht sowieo mit [mm] (x_n) [/mm] weiterarbeiten?
Und natürlich wiedermal vielen Dank bisher
Lari
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Hallo,
> Allerdings wie gesagt - im Groben - ein paar Kleinigkeiten
> habe ich noch:
> 1) Warum müssen wir annehmen I sei nicht leer, wenn wir
> schon den Schnitt von mehrere Mengen betrachten.
> Wenn wir das schon tun, müsssten wir doch noch darauf
> verweisen, dass in diesm Fall gar kein Durchschnitt
> existiert,oder?
Genau - es ist wie gesagt bloß ein "sinnloser" Fall, den es abzudecken gilt.
Im Falle I leer gibt es sowieso gar nichts zu beweisen.
> 2.)Ich verste den Unterschied zwischen der Folge [mm](x_n) n\in[/mm]
> IN, die einen HP x hat und den der Teilfolge (x_nk) [mm]k\in[/mm] IN
> noch nicht so ganz, da diese ja auch nur x als HP hat -
> warum können wir dann nicht sowieo mit [mm](x_n)[/mm]
> weiterarbeiten?
Das Problem ist: [mm] $(x_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] kann mehrere, beliebig viele - ja sogar überabzählbar viele Häufungspunkte haben.
Wenn wir nur mit [mm] $(x_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] weiterarbeiten, können wir in den verschiedenen [mm] $X_{j}$ (j\in [/mm] I) zwar immer sagen, dass die Folge einen HP hat. Das könnten dann aber in verschiedenen [mm] X_{j} [/mm] auch verschiedene HP sein.
Das nützt uns aber nichts, denn wir wollen ja als Resultat, das es einen HP von [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] gibt, der in allen [mm] X_{j} [/mm] liegt, damit er auch im Durchschnitt der [mm] X_{j} [/mm] liegt.
Deswegen nehmen wir nur noch eine Teilfolge von [mm] (x_{n})_{n\in\IN}, [/mm] nämlich [mm] (x_{n_{k}})_{k\in\IN}, [/mm] die nur noch einen HP hat - dadurch muss diese Folge auch in allen anderen [mm] X_{j} [/mm] denselben HP haben und wir können genau das postulieren, was wir zu zeigen haben.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 So 25.04.2010 | | Autor: | LariC |
Stimmt das macht Sinn...gut verstanden habe ich es - aber von selbst drauf gekommen bin ich wiedermal nicht-
supi
Aber, auch wenns noch schwieriger ist - versuche ich mich jetzt an der Vereinigung! dankesehr
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mo 26.04.2010 | | Autor: | LariC |
Hallöchen,
sitze jetzt natürlich immernoch an der Vereinigung kompakter Mengen fest, der Anfang des Beweises müsste meines Erachtens eigentlich analog funktioneren, also:
Wir wählen eine Menge endlich vieler kompakter Mengen [mm] (A_i) [/mm] i [mm] \in [/mm] I und wählen ein Folge [mm] (x_n)n \in [/mm] IN, die in [mm] \bigcup_{i \in I }^{} [/mm] enthalten ist.
Also ist unsere Folge [mm] X_n [/mm] auch eine Folge in jedem der [mm] A_i.
[/mm]
Wenn wir nun eine solche kompakte Menge [mm] A_i [/mm] betrachten, so hat die Folge [mm] x_n [/mm] einen Häufungspunkt in ihr.
Ebenso auch in allen anderen.
An dieser Stelle frage ich mich aber, warum es so wichtig ist endlich viele Mengen zu betrachten, was würde es für einen Unterschied machen beliebig viele zu betrachten?
Inwiefern muss dieser Unterschied wirklich in den Beweis mit einfließen und vor allem warum?
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Hallo,
> sitze jetzt natürlich immernoch an der Vereinigung
> kompakter Mengen fest, der Anfang des Beweises müsste
> meines Erachtens eigentlich analog funktioneren, also:
>
> Wir wählen eine Menge endlich vieler kompakter Mengen
> [mm](A_i)[/mm] i [mm]\in[/mm] I und wählen ein Folge [mm](x_n)n \in[/mm] IN, die in
> [mm]\bigcup_{i \in I }^{}[/mm] enthalten ist.
>
> Also ist unsere Folge [mm]X_n[/mm] auch eine Folge in jedem der
> [mm]A_i.[/mm]
Nein! Wieso denn? Es geht hier darum, dass die Folge in der Vereinigung verschiedener Mengen ist!
Im schlimmsten Falle ist unsere Folge über alle [mm] A_{i} [/mm] verteilt!
Ich merke aber gerade, dass dieser Beweis viel leichter geht als der andere.
Denn: Selbst wenn die Folge über alle [mm] A_{i} [/mm] verteilt ist, so gibt es doch mindestens in einem [mm] A_{i} [/mm] unendlich viele Folgenglieder, weil es ja nur endlich viele [mm] A_{i} [/mm] sind (mach' dir das klar!)
--> Jetzt wird wahrscheinlich auch klarer, warum es nur endlich viele [mm] A_{i} [/mm] sein dürfen: Wären es unendlich viele [mm] A_{i}, [/mm] könnte es im schlimmsten Fall ja passieren, dass in jedem [mm] A_{i} [/mm] nur ein einziges Folgenglied liegt - dann könntest du nichts beweisen!
Wenn nun aber in mindestens einem [mm] A_{i} [/mm] unendlich viele Folgenglieder liegen, also wieder eine neue Folge, die sozusagen Teilfolge der ursprünglichen Folge ist, so gilt ...
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mo 26.04.2010 | | Autor: | LariC |
Hey Stefan,
> Wenn nun aber in mindestens einem [mm]A_{i}[/mm] unendlich viele
> Folgenglieder liegen, also wieder eine neue Folge, die
> sozusagen Teilfolge der ursprünglichen Folge ist, so gilt
> ...
das diese Folgenglieder gegen einen Wert x konvergieren, der innerhalb von [mm] A_i [/mm] liegt .Zum Konvergieren: weil in der Menge [mm] A_i [/mm] ja unendlich viele Folgenglieder liegen.
Und da dies für jede bel. Folge [mm] x_n [/mm] der Vereinigung gilt, hat damit jede Folge der Menge einen HP, womit die Def. der Kompaktheit erfüllt wäre, da jede Folge einen HP hat.
Das wäre meine Idee dazu - falls das noch nicht ganz korrekt ist - gib mir am besten nur mal einen Tipp, wo der Fehler steckt. Ich versteh die korrekten wege dann meist, aber ich würde auch geren selbst mal auf Lösungen kommen :(
P.S. Danke das du noch nicht aufgibst mir zu helfen :~
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Hallo,
> Hey Stefan,
> > Wenn nun aber in mindestens einem [mm]A_{i}[/mm] unendlich viele
> > Folgenglieder liegen, also wieder eine neue Folge, die
> > sozusagen Teilfolge der ursprünglichen Folge ist, so gilt
> > ...
>
> das diese Folgenglieder gegen einen Wert x konvergieren,
> der innerhalb von [mm]A_i[/mm] liegt .Zum Konvergieren: weil in der
> Menge [mm]A_i[/mm] ja unendlich viele Folgenglieder liegen.
> Und da dies für jede bel. Folge [mm]x_n[/mm] der Vereinigung gilt,
> hat damit jede Folge der Menge einen HP, womit die Def. der
> Kompaktheit erfüllt wäre, da jede Folge einen HP hat.
Die Idee stimmt - und das ist die Hauptsache Ich kanalisiere deine Worte mal in etwas mathematischeren Text (es geht nicht um Konvergenz, sondern um HP!)
Wir wissen also, dass es irgendein [mm] A_{i} [/mm] gibt, in dem eine Teilfolge [mm] $(x_{n_{k}})_{k\in\IN}$ [/mm] von [mm] $(x_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] liegt. Da [mm] A_{i} [/mm] kompakt, hat [mm] $(x_{n_{k}})_{k\in\IN}$ [/mm] in [mm] A_{i} [/mm] einen HP.
Da [mm] $(x_{n_{k}})_{k\in\IN}$ [/mm] Teilfolge von [mm] $(x_{n})_{n\in\IN}$, [/mm] ist dieser HP auch HP von [mm] $(x_{n})_{n\in\IN}.
[/mm]
Der HP liegt in einem der [mm] A_{i}, [/mm] also auch in der Vereinigung der [mm] A_{i}.
[/mm]
Damit ist alles gezeigt.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:05 Di 27.04.2010 | | Autor: | LariC |
Ich hatte es zwar selber noch etwas anders gemeint und hatte nicht noch extra eine weitere Teilfolge betrachtet, aber naja...ich versuche das ganze jetzt einfach nochmal ohne zu gucken 
Und dann vergleiche ich mal...
Danke dir!
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